【疑問】z検定とt検定、尤度比検定として導けって言われた。分散が未知だと何が変わるん【統計検定1級】

正規母集団の平均の検定を、尤度比検定として導け、って問題
$z$ も $t$ も公式で覚えてるだけやった

前提のおさらいを2つ
尤度比 $\lambda ={\sup }_{{\Theta }_0}L/{\sup }_{\Theta }L$ が小さいときに棄却する
$t$ 分布は $Z/\sqrt{V/m}$（$Z$ と $V\sim {\chi }_m^2$ が独立）

＞＞1
分散 ${\sigma }^2$ が既知なら、$H_0:\mu ={\mu }_0$ で
$-2\log \lambda =\frac{n(\bar{x}-{\mu }_0{)}^2}{{\sigma }^2}=z^2$
だから $\lambda$ が小さいことと $|z|$ が大きいことは同じ。棄却域は $|z|>z_{\alpha /2}$

＞＞3
分散も未知なら、分母と分子で ${\sigma }^2$ をそれぞれ最尤推定する
全体では ${\hat{\sigma }}^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$、帰無仮説では ${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-{\mu }_0{)}^2={\hat{\sigma }}^2+(\bar{x}-{\mu }_0{)}^2$

＞＞4
$\lambda$ は $|t|$ の減少関数やから、「$\lambda$ が小さい」＝「$|t|$ が大きい」。$t$ は自由度 $n-1$ の $t$ 分布に正確に従う

数字で。$n=10$、$\bar{x}=52.3$、$s=4$、$H_0:\mu =50$
$t=2.3/(4/\sqrt{10})\approx 1.818$。$t_9$ の上側2.5%点 $2.262$ に届かず、両側P値は約0.102
もし $\sigma =4$ が既知なら $z=1.818$ で、両側P値は約0.069

＞＞6
既知のほうがP値が小さいのは、$\sigma$ を推定する不確かさがないから。$t$ 分布の裾が重いぶん、同じ値でも珍しさが下がる

＞＞5
わざわざ $t$ 分布を使わんでも、ウィルクスの定理で $-2\log \lambda$ を ${\chi }_1^2$ と比べればええやん

＞＞8
この例でやると $-2\log \lambda =10\log (1+1.818^2/9)\approx 3.13$、P値は約0.077
正確な $t$ 検定の0.102より小さく出る。$n=10$ では漸近近似が甘いから、正確な分布があるならそっちを使う

＞＞9
片側なら $t_9$ の上側5%点は $1.833$ で、1.818はぎりぎり届かない（P値約0.051）。片側か両側かは、データを見る前に決めておく話やで

$\sigma$ 既知なら $-2\log \lambda =z^2$、未知なら ${\lambda }^{2/n}=1/(1+t^2/(n-1))$。尤度比が $t$ の関数になるところを書けば導出になるな