【疑問】t分布って、正規分布と何が違うん？1.96 じゃダメなん？【統計検定2級】

平均の検定で、z を使うときと t を使うときがある
正規分布で 1.96 って覚えてるのに、なんで t分布なんかが要るんや

＞＞1
違いは、標準偏差を知ってるかどうか
本当の標準偏差 $\sigma$ が分かってるなら、標本平均を標準化した値は標準正規分布に従う
実際は $\sigma$ を知らんから、データから計算した標準偏差 $s$ で代わりにする。そうすると分布がt分布に変わる

＞＞2
代わりにしただけで、分布が変わるんか

＞＞3
$s$ もデータごとにブレるからな。分母までブレるぶん、極端な値が出やすくなる
だから t分布は正規分布より裾（両端）が厚い

どのくらい厚いん

＞＞5
自由度5のt分布で、絶対値が3を超える確率は約3.0%
標準正規分布やと約0.27%
10倍以上ちがう

自由度ってここでは何なん

＞＞7
平均の検定なら、データ数 $n$ から1引いた $n-1$
$s$ を計算するときに、平均を1つ使ってしまった分だけ減る

＞＞8
両側5%の境目（臨界値）を自由度ごとに並べると
自由度5で2.571、10で2.228、15で2.131、30で2.042
自由度が大きくなるほど 1.96 に近づく。データが多いなら正規分布とほぼ同じ

例題くれ

＞＞10
ある製品の重さを16個測って、平均105g、標準偏差8g
「本当の平均は100g」を確かめると、標準誤差（平均値のブレの目安）は $8/\sqrt{16}=2$ やから

自由度15の臨界値2.131より大きいから、5%水準で「100gとは言えない」

＞＞11
p値はどうなる？

＞＞12
自由度15のt分布で両側を計算すると約0.025
同じ2.5を正規分布で見ると約0.012で、半分くらいに小さく出る
データが少ないのに正規分布を使うと、差を見つけたつもりになりやすい

＞＞13
いや、16個あれば十分多いやろ。1.96 で問題なくない？

＞＞14
臨界値で比べると 2.131 と 1.96 で、差は1割弱ある
t がその間に入ったら結論が逆になる。$\sigma$ を知らんなら、データ数に関係なく t を使うのが筋
データが何百もあれば、どっちを使っても数字はほぼ同じになる、ってだけ

t分布の分散は？

＞＞16
自由度を $\nu$（ニュー）として、$\nu >2$ なら

自由度5なら $5/3\approx 1.67$ で、標準正規の1より大きい。これも裾が厚いことの表れ

＞＞17
自由度が1とか2やったら？

＞＞18
自由度2やと分散は無限大、自由度1やと平均すら存在せん
自由度1のt分布はコーシー分布と同じもの

そもそも誰が考えたん

＞＞20
ビール会社で少ないサンプルの品質管理をしてた人が、Student というペンネームで発表した。だから「スチューデントのt分布」と呼ばれる
少ないデータでどう判断するか、っていう現場の問題から出てきた分布