【疑問】t分布の密度を「正規 ÷ √(カイ二乗/自由度)」から導けって言われた。どこから手をつけるん【統計検定1級】

$T=Z/\sqrt{V/k}$（$Z\sim N(0,1)$、$V\sim {\chi }_k^2$、独立）の密度を導出せよ
比の分布やから変数変換やと思うけど、積分が解けるか不安

前提のおさらいを2つ
正規標本では $\bar{X}$ と $s^2$ が独立で、$(n-1)s^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$
比の分布は、分母の変数を補助変数に残してヤコビアンをかけ、補助変数を積分で消す

＞＞1
$T=Z/\sqrt{V/k}$、$W=V$ と置くと $z=t\sqrt{w/k}$、$|J|=\sqrt{w/k}$
独立やから同時密度は $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-z^2/2}\cdot \frac{w^{k/2-1}{e}^{-w/2}}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}$ で、$z$ を入れると

＞＞3
$w$ の積分はガンマ関数の形。${\int }_0^{\infty }{w}^{a-1}{e}^{-bw}dw=\Gamma (a)/b^a$ で、$a=(k+1)/2$、$b=(1+t^2/k)/2$

＞＞4
$k=1$ なら $\frac{\Gamma (1)}{\sqrt{\pi }\Gamma (1/2)}=\frac{1}{\pi }$ で、$\frac{1}{\pi (1+t^2)}$。コーシー分布になる

＞＞4
$k=5$ で $t=0$ の高さは $\frac{\Gamma (3)}{\sqrt{5\pi }\Gamma (2.5)}\approx 0.380$。標準正規の $0.399$ より低くて、そのぶん裾が重い

自由度を大きくすると正規分布になる理由は？

＞＞7
${\left(1+\frac{t^2}{k}\right)}^{-(k+1)/2}\to e^{-t^2/2}$ で、$(1+x/n{)}^n\to e^x$ の形
両側5%点も $k=5$ で $2.571$、$k=30$ で $2.042$ と、$1.96$ に近づいていく

使い方。$n=10$ の正規標本で $\bar{X}=52.3$、$s=4$、${\mu }_0=50$ なら
$\bar{X}$ と $s^2$ が独立やから $\frac{\bar{X}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim t_9$ で、値は $\frac{2.3}{4/\sqrt{10}}\approx 1.818$
両側のP値は約 $0.102$

＞＞9
独立の仮定がそんなに大事なん？分子と分母が少し関係してても、だいたい $t$ 分布やろ

＞＞10
導出では同時密度を積で書いたところで独立を使ってる。独立でなければこの積分自体が成り立たない
正規標本で独立が言えるから、$\sigma$ を $s$ に置き換えても分布が正確に分かる

＞＞11
実務では正規から少しずれても $t$ 検定は大きく崩れにくい。ただそれは近似の話で、密度の導出とは別

分散も見ておく。$k>2$ で $V[T]=k/(k-2)$、$k=5$ なら $1.667$
$k$ 次以上のモーメントは存在しない

分母を補助変数に残す、ガンマ関数で積分、$k=1$ でコーシーになるか検算。3つで導出が書けるな