【疑問】ワルド検定・スコア検定・尤度比検定、同じデータで結果が違うのはなんで？どれを使えばええん【統計検定1級】

同じ仮説を3つの検定で調べたら、P値が全部違った
どれかが間違ってるん？

前提のおさらいを2つ
尤度比検定：$-2\log \lambda =2\{\ell (\hat{\theta })-\ell ({\theta }_0)\}$ が漸近的に ${\chi }^2$
フィッシャー情報量 $I(\theta )=V[S]$、スコア $S$ は対数尤度の微分

＞＞1
どれも間違ってない。3つとも対数尤度のグラフの見方が違うだけ

ワルドは山の頂上で幅を測る、スコアは ${\theta }_0$ での傾きを測る、尤度比は高さの差を測る

ポアソンで3つとも出す。$n=40$、合計100、$H_0:\lambda =2$、$\hat{\lambda }=2.5$
ワルド：$0.5^2/(2.5/40)=4.0$、P値約0.046
スコア：$0.5^2/(2/40)=5.0$、P値約0.025
尤度比：約4.63、P値約0.031

＞＞4
二項で $n=50$、32回成功、$H_0:p=0.5$ だと
ワルド $z\approx 2.062$（P値約0.039）、スコア $z\approx 1.980$（約0.048）、尤度比 $\sqrt{\cdot }\approx 1.993$（約0.046）
ポアソンではスコアが一番大きかったのに、二項ではワルドが一番大きい。順番は決まってない

＞＞5
二項のスコア検定は、標準誤差に $p_0$ を使う普通の比率の $z$ 検定と同じものやな

＞＞3
じゃあ結局どれでもええってこと？

＞＞7
$n\to \infty$ では3つとも同じ ${\chi }^2$ に近づくから、大きい $n$ ではどれでもいい
差が出る小さい $n$ では性質で選ぶ。ワルドは母数の取り方（$\lambda$ か $\log \lambda$ か）で値が変わるけど、尤度比は変わらない

＞＞8
計算の手間でも違う。ワルドは全体のモデルの推定だけ、スコアは帰無仮説のもとの推定だけ、尤度比は両方要る
大きいモデルの推定が大変なときにスコア検定が使われる

＞＞8
ワルド型は推定値が端に近いとき弱い。二項で $\hat{p}$ が0に近いと標準誤差が小さく出て、言いすぎる

傾き・幅・高さのどれを見るか、大きい $n$ では同じ、小さい $n$ では取り方への依存と手間で選ぶ。これで説明できるな