【疑問】ピボット量から信頼区間を作るって、t分布の区間以外にもできるん？【統計検定1級】

信頼区間の作り方を一般的に説明して、指数分布の場合に作れ、って問題
正規の平均の区間しか作ったことない

前提のおさらい。正規標本では $\bar{X}$ と $s^2$ が独立で

この $T$ の分布には $\mu$ も $\sigma$ も入っていない

＞＞1
ピボット量とは、データと母数の両方を含むけど、分布が母数によらない量
手順：(1) ピボット $Q(X,\theta )$ を見つける (2) $P(a\le Q\le b)=1-\alpha$ となる $a,b$ を分布から決める (3) $a\le Q\le b$ を $\theta$ について解く

＞＞3
正規の平均から。$n=10$、$\bar{x}=52.3$、$s=4$ なら $t_9$ の上側2.5%点 $2.262$ で
$52.3\pm 2.262\times 4/\sqrt{10}=52.3\pm 2.861$、区間は $(49.44,55.16)$

＞＞1
指数分布（率 $\lambda$）では $2\lambda \sum X_i\sim {\chi }_{2n}^2$ がピボット
$\lambda X_i$ は平均1の指数分布、その $2$ 倍は自由度2のカイ二乗で、$n$ 個足すと自由度 $2n$

＞＞5
数字で。$n=5$、合計 $6.5$ なら ${\chi }_{10}^2$ の下側・上側2.5%点 $3.247$、$20.483$ を使って

＞＞6
最尤推定値 $0.769$ が真ん中にない。右に長い分布のピボットやから、区間も右に長い

分散の区間も同じ。$(n-1)s^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$ がピボットで
$n=10$、$s^2=16$ なら $\left(\frac{9\times 16}{19.023},\frac{9\times 16}{2.700}\right)=(7.57,53.3)$

$U(0,\theta )$ では $\max X_i/\theta$ が $Be(n,1)$ でピボット。$P(\max /\theta \le u)=u^n$
$\theta \ge \max$ は必ず成り立つから、区間は $[\max ,\max /{\alpha }^{1/n}]$。$n=5$、最大値 $3.6$ なら $[3.6,6.55]$

＞＞6
この区間に $\lambda$ が95%の確率で入る、って書いていいんやろ

＞＞10
だめ。$\lambda$ は定数で、ランダムなのは区間のほう。「この作り方をくり返すと、95%の区間が $\lambda$ を含む」が正しい読み方
計算して出た $(0.250,1.576)$ は、含むか含まないかのどっちか

＞＞11
とはいえ、無情報な事前分布を置いたベイズの区間と数値がほぼ一致する場面も多い。読み方の違いと、数値の違いは分けて考えたほうがいい

分布が母数によらない量を探す、分位点で挟む、母数について解く。正規でも指数でも一様でも同じ3段でいけるんやな