【疑問】尤度比検定の −2log λ がカイ二乗分布になるのはなんで？自由度はどう数えるん【統計検定1級】

一般化尤度比検定を構成して、漸近分布を使って検定せよ、って問題
単純仮説の尤度比とは何が違うん

前提のおさらいを2つ
ネイマン・ピアソン：単純仮説どうしなら、尤度比 $L({\theta }_1)/L({\theta }_0)$ の大きいほうを棄却域にすると最強力
最尤推定量は漸近的に $N(\theta ,1/(nI(\theta )))$

＞＞1
仮説に範囲があると ${\theta }_1$ が1つに決まらないから、それぞれの仮説の中で尤度を最大にした値どうしを比べる

$\lambda$ が小さいほど帰無仮説と合わないから、小さいときに棄却する

＞＞3
ウィルクスの定理：正則条件のもとで、帰無仮説が正しければ
$-2\log \lambda \to {\chi }_r^2$、$r$ ＝（全体の母数の数）−（帰無仮説で自由に動ける母数の数）

＞＞4
なんでカイ二乗になるん

＞＞5
1母数で $H_0:\theta ={\theta }_0$ なら、$\ell ({\theta }_0)$ を $\hat{\theta }$ のまわりでテイラー展開する。${\ell }^{\prime }(\hat{\theta })=0$ やから
$\ell ({\theta }_0)\approx \ell (\hat{\theta })+\frac{1}{2}{\ell }^{\prime \prime }(\hat{\theta })({\theta }_0-\hat{\theta }{)}^2$

$\sqrt{nI}(\hat{\theta }-{\theta }_0)\to N(0,1)$ やから、その2乗で ${\chi }_1^2$

ポアソンで数字を。$n=40$、合計100、$H_0:\lambda =2$
$\hat{\lambda }=2.5$ で、$-2\log \lambda =2\{100\log (2.5/2)-40(2.5-2)\}\approx 4.63$
${\chi }_1^2$ の上側5%点 $3.84$ を超えるから棄却。P値は約0.031

＞＞4
正規分布 $N(\mu ,1)$ で $H_0:\mu ={\mu }_0$ なら、$-2\log \lambda =n(\bar{x}-{\mu }_0{)}^2$ がちょうど ${\chi }_1^2$。近似じゃなくて正確

＞＞4
でも漸近でしょ。$n$ が小さいと当てにならんのちゃう

＞＞9
そこは本当。だから正確な分布が分かるときはそっちを使う。正規の平均で分散も未知なら、$\lambda$ は $t$ 統計量の単調な関数になって、$t$ 分布で正確に検定できる
漸近分布は、正確な分布が出ないときの道具

＞＞4
自由度の数え方の例。多項分布で3つの確率 $(p_1,p_2,p_3)$ が全部等しいかを調べるなら
全体は和が1の制約があるから自由に動けるのは2個、帰無仮説では0個。$r=2-0=2$

＞＞11
境界に母数がある場合（分散成分が0か、など）は正則条件が崩れて、カイ二乗にならない。そういう問題が出たら注意書きが要る

尤度を2回最大にして比をとる、$-2\log \lambda$ を作る、自由度を数えてカイ二乗と比べる。手順はこれで固まるな