【疑問】分散の検定はカイ二乗、2つの分散の比はF。導き方と、正規じゃないとどうなるかが知りたい【統計検定1級】

母分散が9かどうかの検定と、2つの母分散が等しいかの検定を導け、って問題

前提のおさらいを2つ
正規分布の標本なら $(n-1)s^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$
独立な $V_1\sim {\chi }_{m_1}^2$、$V_2\sim {\chi }_{m_2}^2$ で $\frac{V_1/m_1}{V_2/m_2}\sim F(m_1,m_2)$

＞＞1
1つの分散から。$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$ のもとで

両側なら下側・上側2.5%点の外で棄却。分布が左右対称じゃないから、両方の点を別々に引く

＞＞3
$n=10$、$s^2=16$、${\sigma }_0^2=9$ なら
${\chi }^2=9\times 16/9=16$。${\chi }_9^2$ の2.5%点は $2.700$ と $19.023$ で、その間やから棄却しない
両側P値は $2P({\chi }_9^2>16)\approx 0.134$

＞＞1
2つの分散の比は、それぞれの ${\chi }^2$ を自由度で割って比をとると ${\sigma }^2$ が消える
$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$ のもとで $F=s_1^2/s_2^2\sim F(n_1-1,n_2-1)$
$n_1=10,s_1^2=16$、$n_2=13,s_2^2=6$ なら $F\approx 2.67$。$F(9,12)$ の上側2.5%点 $3.44$ に届かず、両側P値は約0.116

＞＞5
下側の点は $F(9,12)$ の下側2.5%点 $=1/F(12,9)$ の上側2.5%点 $\approx 0.259$。大きいほうを分子にすれば上側だけ見ればいい

＞＞3
でも平均の $t$ 検定は正規じゃなくてもだいたい大丈夫やん。分散の検定も同じちゃうの

＞＞7
そこが違う。$t$ 検定は中心極限定理で守られるけど、$s^2$ のばらつきは分布の尖度で変わる
超過尖度 $\kappa$ のとき $V[s^2]\approx {\sigma }^4\left(\frac{2}{n-1}+\frac{\kappa }{n}\right)$。正規は $\kappa =0$

＞＞8
ラプラス分布（$\kappa =3$）で $n=10$ をシミュレーションすると、名目5%の分散の検定が実際には約16%で棄却する。F検定（$n_1=10,n_2=13$）も約16%
$n$ を増やしても直らない。尖度の項が残るから

＞＞9
実務で等分散を確かめたいなら、正規に頼らないルビーン検定などを使う。答案で正規を仮定するときは、その仮定が効くことを一言書いておく

1つなら $(n-1)s^2/{\sigma }_0^2$ を ${\chi }_{n-1}^2$、2つなら $s_1^2/s_2^2$ を $F$。導出は短いけど、正規の仮定に弱いのはセットで覚えるわ