【疑問】X̄−R管理図とp管理図の管理限界はどう計算するん？3σにする理由と異常の判定ルールも【統計検定1級】

大きさ5の群を25群とった X̄−R 管理図と、200個ずつ調べた不良率の p 管理図の管理限界を求めよ、って問題

前提のおさらい。母平均の z 検定では、$H_0$ のもとで $\bar{X}\sim N(\mu ,{\sigma }^2/n)$ を使って、$|\bar{X}-\mu |$ が標準誤差の何倍かで判定した
管理図は、この判定を群ごとにくり返し行うもの

＞＞1
X̄ 管理図の限界は $\overline{\stackrel{ˉ}{X}}\pm 3\sigma /\sqrt{n}$。$\sigma$ は群の範囲の平均 $\bar{R}$ から推定する
正規分布で大きさ5の範囲は $E[R]=d_2\sigma$、$d_2=2.326$。だから $\hat{\sigma }=\bar{R}/d_2$

数字で。$\overline{\stackrel{ˉ}{X}}=50.0$、$\bar{R}=4.0$
X̄ 管理図：$50.0\pm 0.577\times 4.0$ で、上方管理限界 $52.31$、下方管理限界 $47.69$
R 管理図：上方管理限界 $D_4\bar{R}=2.114\times 4.0\approx 8.46$、$n\le 6$ では $D_3=0$ で下方はなし

p 管理図。$\bar{p}=0.04$、$n=200$ なら二項分布を正規で近似して
$\sqrt{0.04\times 0.96/200}\approx 0.0139$、上方管理限界 $0.04+3\times 0.0139\approx 0.082$
下方は $0.04-0.042<0$ やから0とする

＞＞3
なんで3σなん？2σのほうが早く異常に気づけるやろ

＞＞6
工程が安定してても、限界の外に出る確率が3σで $0.0027$、2σで $0.0455$
間違って止める（第1種の過誤）までの平均の群数は、3σで約370群、2σで約22群。2σやと何もないのに頻繁に止めることになる

限界の中でも異常とみなすルールがある。たとえば中心線の片側に9点連続
安定してたら $2\times 0.5^9\approx 0.0039$ でしか起きないから、平均が少しずれたのを拾える

＞＞4
管理限界って、規格の上限と下限のことやろ？そこを超えたら不良品

＞＞9
別もの。管理限界は工程のデータから計算した「ふだんのばらつきの範囲」で、規格は製品に求められる範囲
管理限界の中でも規格外の品は出うるし、規格に余裕があっても管理限界を外れたら工程に何か起きてる。規格と工程のばらつきを比べるのは工程能力指数のほう

＞＞2
群の中は短い時間で続けてとるのが大事やな。群の中のばらつきが $\sigma$ の推定になるから、群の中に工程の変化が混ざると限界が広がって何も検出できなくなる

$\hat{\sigma }=\bar{R}/d_2$ で $\overline{\stackrel{ˉ}{X}}\pm A_2\bar{R}$、p 管理図は $\bar{p}\pm 3\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})/n}$、3σは誤警報0.0027、片側9点連続のルール、管理限界と規格は別。これで計算できるな