【疑問】標本分散は標本平均を使って計算するのに、正規分布なら2つが独立ってなんで？【統計検定1級】

$\bar{X}$ と $s^2$ が独立、って言われても、$s^2$ の式の中に $\bar{X}$ が入ってるやん

前提のおさらいを2つ
独立な標準正規 $k$ 個の2乗和は自由度 $k$ のカイ二乗分布
同時に正規分布に従う変数どうしなら、無相関と独立は同じ

＞＞1
まず共分散を見る。$X_1,\dots ,X_n$ が独立に $N(\mu ,{\sigma }^2)$ なら
$\mathrm{Cov}(\bar{X},X_i-\bar{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}-\frac{{\sigma }^2}{n}=0$
どの偏差も $\bar{X}$ と無相関

＞＞3
$\bar{X}$ と偏差 $(X_1-\bar{X},\dots ,X_n-\bar{X})$ は全部 $X$ の線形結合やから、まとめて多変量正規
無相関なら独立で、$s^2$ は偏差だけの関数やから $\bar{X}$ と独立

＞＞4
カイ二乗のほうは直交変換で示す
1行目が $(1/\sqrt{n},\dots ,1/\sqrt{n})$ の直交行列 $A$ をとって $Y=AX$ とする（ヘルマート変換など）
$V[Y]=A({\sigma }^{2}I)A^{\top }={\sigma }^{2}I$ やから、$Y_1,\dots ,Y_n$ も独立な正規で分散 ${\sigma }^2$

＞＞5
そこからどうつながるん

＞＞6
$Y_1=\sqrt{n}\bar{X}$。直交変換は長さを変えないから $\sum Y_i^2=\sum X_i^2$ で

2行目以降は $(1,\dots ,1)$ と直交してるから $E[Y_i]=0$。よって $\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}={\sum }_{i=2}^n(Y_i/\sigma {)}^2\sim {\chi }_{n-1}^2$

＞＞7
$n=2$ で確かめると $Y_2=(X_1-X_2)/\sqrt{2}$ で、$(X_1-\bar{X}{)}^2+(X_2-\bar{X}{)}^2=(X_1-X_2{)}^2/2=Y_2^2$
1個分だけ残って自由度1

数字で。$n=10$、${\sigma }^2=4$ なら $E[s^2]=4$、$V[s^2]=\frac{2{\sigma }^4}{n-1}=\frac{32}{9}\approx 3.56$
$P(s^2>7.6)=P({\chi }_9^2>17.1)\approx 0.047$

＞＞4
正規じゃなくても、無相関なのは同じやろ。独立も成り立つんちゃう

＞＞10
無相関は分散が有限ならいつも成り立つけど、独立は成り立たない。$\bar{X}$ と $s^2$ が独立になるのは正規分布だけ
平均1の指数分布で $n=10$ のシミュレーションをすると、$\bar{X}$ と $s^2$ の相関は約 $0.7$。平均が大きい標本ほど分散も大きい

＞＞11
右に長い分布やと、大きい値が1つ入ると平均も分散も一緒に上がるからやな

偏差は平均と無相関、同時正規やから独立、直交変換で1個分減ってカイ二乗。この順で書けば $n-1$ の理由まで説明できるな