【疑問】ワイブル分布の形状母数で、壊れやすさが増えたり減ったりするってどういうこと？【統計検定1級】

ワイブル分布は寿命のモデルって聞いたけど、指数分布と何が違うのか分からん

前提のおさらい。生存関数 $S(t)=P(T>t)$ とハザード $h(t)=f(t)/S(t)$ のあいだには

の関係があって、ハザードが一定なら指数分布

＞＞1
ワイブル分布は生存関数で書くと分かりやすい

$m$ が形状、$\eta$ が尺度。$m=1$ なら指数分布

＞＞3
$h(t)\propto t^{m-1}$ やから、$m<1$ で減る、$m=1$ で一定、$m>1$ で増える

数字で。$\eta =100$ 時間、$m=2$ なら $h(50)=0.01$、$h(100)=0.02$
新品が50時間もつ確率は $S(50)=e^{-0.25}\approx 0.779$
50時間使ったものがさらに50時間もつ確率は $S(100)/S(50)=e^{-1}/e^{-0.25}=e^{-0.75}\approx 0.472$

＞＞5
使い古しのほうが危ない。指数分布の無記憶性とは逆やな

平均寿命は？

＞＞7
$T=\eta E^{1/m}$（$E$ は平均1の指数分布）と書けるから、ガンマ関数で

$m=2$ なら $100\times \Gamma (1.5)=100\times \frac{\sqrt{\pi }}{2}\approx 88.6$ 時間

データから $m$ を見る方法もある
$\log (-\log S(t))=m\log t-m\log \eta$ で、$\log t$ に対して直線になる
傾きが $m$。この形で点を打つのがワイブルプロット

＞＞4
機械の故障は、初期不良で減って、しばらく一定で、最後に摩耗で増える「バスタブ曲線」やろ。ワイブルで表せるん

＞＞10
1つのワイブル分布では無理。$t^{m-1}$ は単調やから、減ってから増える形は作れない
期間ごとに $m<1$、$m=1$、$m>1$ を当てはめるか、いくつかを混ぜたモデルを使う

＞＞11
でも期間を区切ってしまえば、それぞれはワイブルでよく合う。実務で使われてるのはそこ

もう1つ、最小値で閉じてるのも特徴
独立な $n$ 個の最小値は $S(t{)}^n=\exp \{-n(t/\eta {)}^m\}$ で、尺度 $\eta n^{-1/m}$ のワイブル
$m=2$ の部品4個を直列につなぐと、尺度は $100/\sqrt{4}=50$

生存関数で書く、ハザードは $t^{m-1}$、平均はガンマ関数、最小値もワイブル。指数分布を1つ広げた分布として覚えておけばよさそうやな