【疑問】タクシーを10分待ったのに「あと何分か」の見込みが変わらんってほんま？【統計検定準1級】

指数分布の「無記憶性」で、10分待っても残りの待ち時間の見込みは変わらん、って書いてあった
さすがにそれはおかしくないか

＞＞1
まず指数分布から
「次の出来事が起きるまでの待ち時間」を表す分布
1分あたりに平均何回起きるかを $\lambda$（ラムダ）とすると、待ち時間の平均は

流しのタクシーが1分あたり平均0.2台通るなら

平均5分待ち

＞＞2
5分待てばだいたい来る、ってことか

＞＞3
それがそうでもない。$t$ 分待っても来ない確率は

平均の5分で来ない確率は

5分以内に来るのは約63%だけ。平均より待たされるほうが4割近くある

＞＞4
10分待っても来ない確率は？

＞＞5

約13.5%。ちなみに待ち時間の真ん中の値（中央値）は約3.47分で、平均の5分より短い
すぐ来ることが多いけど、たまに長く待たされて平均を引き上げる形

で、無記憶性ってのは？

＞＞7
すでに10分待って来てない人が、さらに5分以上待つ確率

＞＞4の、待ち始めてから5分以上待つ確率と同じ
何分待ったあとでも、そこからの待ち時間は最初と同じ分布。残りの平均も5分のまま

＞＞8
いや、待ったぶん次のタクシーは近づいてるやろ。感覚と合わん

＞＞9
それは時刻表どおりに来るバスなら正しい
10分おきに来るバスに、時刻表を見ずにふらっと行って6分待ったなら、残りは長くても4分
指数分布は「いつ来るかは毎瞬まったくのランダム」っていう前提の分布やから、待った時間の情報が役に立たん

＞＞10
前提がランダムかどうかで答えが変わるってことか

＞＞11
そう。無記憶性を持つ連続分布は指数分布だけ
だから「待った時間で残りが変わる」データに指数分布を当てるのは合ってない

ポアソン分布とはどうつながるん

＞＞13
ポアソン分布は「決まった時間の中で何回起きるか」の分布、指数分布は「次が起きるまで何分か」の分布。同じランダムな出来事を、回数で見るか待ち時間で見るかの違い
1分あたり0.2台なら、10分で通る台数は平均 $0.2\times 10=2$ 台のポアソン分布

＞＞14
10分で0台の確率は？

＞＞15
平均2のポアソン分布で0回の確率は

＞＞6の「10分待っても来ない確率」とぴったり同じ
「10分待っても来ない」と「10分で0台」は、同じことを言ってる

3台目が来るまでの時間はどうなる

＞＞17
待ち時間が3回分つながるから、平均は $3\times 5=15$ 分
指数分布を足したものはガンマ分布（「$n$ 回目が起きるまでの時間」の分布）になる

機械の故障までの時間にも使うって聞いた

＞＞19
使うけど注意が要る
指数分布で表すと、無記憶性のせいで「使い込んでも壊れやすさが変わらない」部品ってことになる
古くなるほど壊れやすい部品なら、指数分布は合ってない。そういうときは壊れやすさが時間で変わる別の分布（ワイブル分布など）を使う

＞＞20
平均 $1/\lambda$、来ない確率 $e^{-\lambda t}$、無記憶性、ポアソン分布との対応。この4つやな