【疑問】k番目に小さい値の密度、係数 n!/((k−1)!(n−k)!) はどこから来るん【統計検定1級】

順序統計量の密度の式、係数の $n!/((k-1)!(n-k)!)$ を毎回忘れる
どういう数え方で出てくるのか知りたい

前提のおさらい。変換した変数の密度は、まず分布関数を元の変数の確率で書いて、それを微分すると出せる
最大値と最小値はこのやり方でそのまま出る

＞＞2
独立に同じ分布 $F$ に従う $n$ 個の最大値は、全部が $x$ 以下のとき $x$ 以下

$U(0,1)$ が5個なら $P(\max \le 0.9)=0.9^5\approx 0.590$、$P(\min >0.1)$ も同じ $0.590$

＞＞1
$k$ 番目の密度は、$x$ のまわりの小さい幅 $dx$ に1個、それより下に $k-1$ 個、上に $n-k$ 個と考える
$n$ 個を3つのグループに分ける並べ方が $\frac{n!}{(k-1)!1!(n-k)!}$ 通り

＞＞4
$dx$ の中に2個入る場合は数えなくてええの？

＞＞5
2個入る確率は $(f(x)dx{)}^2$ の大きさで、$dx$ で割って $dx\to 0$ にすると消える
1個の場合だけが密度に残る

＞＞4
一様分布 $U(0,1)$ なら $F(x)=x$、$f(x)=1$ で、$k$ 番目はベータ分布 $Be(k,n-k+1)$
$n=5$ の中央値（$k=3$）は密度 $30x^2(1-x{)}^2$、平均 $k/(n+1)=0.5$
分散は $\frac{k(n-k+1)}{(n+1{)}^2(n+2)}=\frac{9}{36\times 7}\approx 0.0357$

分布関数から出す方法もある
「$k$ 番目が $x$ 以下」は「$x$ 以下の値が $k$ 個以上」と同じやから、二項分布で

＞＞8
$n=5,k=3,x=0.4$ の一様分布なら
$10(0.4{)}^3(0.6{)}^2+5(0.4{)}^4(0.6)+(0.4{)}^5=0.2304+0.0768+0.01024\approx 0.317$
密度 $30x^2(1-x{)}^2$ を0から0.4まで積分しても同じ値

＞＞4
でも $n$ 個のうちどれが $k$ 番目になるかは互いに関係してるやろ。独立な確率をかけるだけで済むのはおかしくない？

＞＞10
かけてるのは、元の $n$ 個がそれぞれ下・中・上のどこに入るかの確率。元の $n$ 個は独立やから、かけてええ
順序統計量どうしは独立じゃないけど、その依存は「どのグループに何個」の数え方に入ってる

同じ数え方で最小と最大の同時密度も出る

一様分布で範囲 $R=X_{(n)}-X_{(1)}$ の平均は $(n-1)/(n+1)$、$n=5$ なら $2/3$

＞＞1
離散の分布だと同じ値が出ることがあるから、この密度の式は使えない
サイコロ2個の最大値なら $P(\max \le 3)=(3/6{)}^2=1/4$、$P(\max =3)=1/4-1/9=5/36$ と、分布関数の差でやる

係数は「下 $k-1$ 個、真ん中1個、上 $n-k$ 個」の並べ方。これで覚えれば忘れにくいな