【疑問】ハザード（危険率）が一定なら指数分布、ってどうやって示すん？逆も成り立つん【統計検定1級】

寿命の話で「ハザードが一定なら指数分布、その逆も成り立つ」って出てきた
どっち向きに何を示せばいいのか分からん

前提のおさらい。寿命 $T\ge 0$ の分布関数を $F(t)=P(T\le t)$、密度を $f(t)=F^{\prime }(t)$ とする
生存関数は「$t$ までに壊れない確率」で $S(t)=P(T>t)=1-F(t)$

＞＞1
ハザード（危険率）の定義は

「$t$ まで壊れなかった」という条件つきで、その直後に壊れる速さ

＞＞3
それ、密度 $f(t)$ と何が違うん

＞＞4
$f(t)\Delta$ は、最初から見て $t$ の直後に壊れる確率
$h(t)\Delta$ は、$t$ まで生き残ったものの中で、直後に壊れる確率
条件付き確率を定義どおり書くと

＞＞5
$S^{\prime }=-f$ やから

両辺を0から $t$ まで積分して $S(0)=1$ を使うと

指数の中の $H(t)={\int }_0^{t}h(u)du$ を累積ハザードという

＞＞6
$S(0)=1$ ってどこで使ったん

＞＞7
積分すると $\log S(t)-\log S(0)=-H(t)$ になる。$\log S(0)=0$ で定数が消える
$T$ が0ちょうどになる確率が0、つまり $P(T>0)=1$ という仮定。答案ではここも書く

＞＞6
示す向き1（ハザード一定 ⇒ 指数分布）：$h(t)=\lambda$ なら $H(t)=\lambda t$ で

これは平均 $1/\lambda$ の指数分布

＞＞9
示す向き2（指数分布 ⇒ ハザード一定）は定義に入れるだけ

両方の向きがそろって「⇔」

数字で。$\lambda =0.02$（1時間あたり）、平均50時間の部品なら
$S(50)=e^{-1}\approx 0.368$
30時間もった部品があと50時間もつ確率は $S(80)/S(30)=e^{-1.6}/e^{-0.6}=e^{-1}\approx 0.368$
新品と同じ。ハザード一定は無記憶性と同じこと

＞＞11
$\lambda =0.02$ って「1時間で壊れる確率が2%」って意味？

＞＞12
近いけど、そのものではない
生き残ったものが次の1時間で壊れる確率は $1-e^{-0.02}\approx 0.0198$
$\lambda$ が小さいときはテイラー展開で $1-e^{-\lambda }\approx \lambda$ やから、ほぼ2%に見える

＞＞11
でも本物の機械はだんだん壊れやすくなるやろ。一定って現実的なん

＞＞14
そういうときはハザードが増える関数になる。さっきの式はどんな $h$ でも使える
たとえば $h(t)=t/50$ なら $H(t)=t^2/100$ で $S(t)=e^{-t^2/100}$
$S(10)=e^{-1}\approx 0.368$、10時間もったものがさらに10時間もつ確率は $S(20)/S(10)=e^{-4}/e^{-1}=e^{-3}\approx 0.050$
新品なら0.368、使い古しなら0.050。古いほど危ない

＞＞15
平均寿命も $E[T]={\int }_0^{\infty }S(t)dt$ で出せる

ガウス積分の半分を使った

離散の時間ならどうなるん

＞＞17
$k$ 回目で壊れる離散の寿命で、ハザード $P(T=k\mid T\ge k)=p$ が一定なら

幾何分布になる。離散では幾何分布が指数分布の役をする

答案は、$h=f/S$ → $h=-(\log S{)}^{\prime }$ → $S(0)=1$ で積分 → 両方の向き、の順やな
$S$ が微分できることと $S(0)=1$ の仮定を最初に書いておく