【疑問】ガンマ関数とベータ関数、分布の積分がぜんぶこの2つに帰着するってほんま？【統計検定1級】

1級の解説を読んでると、分布の期待値の積分が「ガンマ関数で書けて」の一言で終わってる
そこで置いていかれる

前提のおさらいから。使うのは部分積分と置換積分だけ

置換は $x=\phi (t)$ とおいて $dx={\phi }^{\prime }(t)dt$、積分の範囲も $t$ の範囲に直す

＞＞1
ガンマ関数の定義はこれ

$a=1$ なら $\Gamma (1)={\int }_0^{\infty }{e}^{-x}dx=1$

＞＞3
$a>0$ の条件って要るん？

＞＞4
要る。$x\to 0$ の近くで $e^{-x}\approx 1$ やから、被積分関数はだいたい $x^{a-1}$
$a=0$ だと ${\int }_0^1{x}^{-1}dx$ になって発散する。$a>0$ なら ${\int }_0^1{x}^{a-1}dx=1/a$ で有限

いちばん使う性質は部分積分で出る

境界項は $x=0$ で0、$x\to \infty$ でも指数関数が勝って0

＞＞6
これを繰り返すと、正の整数 $n$ では

$\Gamma (5)=4!=24$。$0!=1$ も $\Gamma (1)=1$ と合ってる

整数じゃないときは？$\Gamma (1/2)$ とか

＞＞8
$x=t^2$ と置換すると $dx=2tdt$ で

最後はガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-t^2}dt=\sqrt{\pi }$ の半分を使った
漸化式と組み合わせて $\Gamma (5/2)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \sqrt{\pi }=\frac{3\sqrt{\pi }}{4}\approx 1.329$

ここからが本題。統計で出てくるのは $e^{-x}$ じゃなくて $e^{-\lambda x}$ の形
$x=y/\lambda$ と置換すると $dx=dy/\lambda$ で

＞＞10
数字で試すと

部分積分を3回やっても同じ答えになるけど、こっちは1行

＞＞11
速いのはええけど、答案に「公式より」とだけ書いて通じるんか
採点する側からしたら、覚えた結果を貼っただけに見えそう

＞＞12
だから置換の1行は残す。「$y=\lambda x$ とおくと」と書いてからガンマ関数の定義に戻せば、導出として読める
丸暗記の公式を書くのとは違う

期待値で使ってみる。ガンマ分布の密度は

同じやり方で $E[X^2]=a(a+1)/{\lambda }^2$、分散は $a(a+1)/{\lambda }^2-(a/\lambda {)}^2=a/{\lambda }^2$
$a=3,\lambda =2$ なら平均1.5、分散0.75

ベータ関数のほうは？

＞＞15
0から1の区間で $x$ と $1-x$ のべき乗をかけたものの積分

ガンマ関数とのあいだに次の関係がある

＞＞16
数字で確かめる

展開して直接やると ${\int }_0^1(x^2-3x^3+3x^4-x^5)dx=\frac{1}{3}-\frac{3}{4}+\frac{3}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{60}$ で一致

＞＞16
その関係式はどこから出てくるん。覚えるしかないん？

＞＞18
$\Gamma (a)\Gamma (b)$ を $x$ と $y$ の2重積分に書いて、$x=st,y=s(1-t)$ と変数変換すると出る
2変数の変換やからヤコビアンが要る

覚えるだけで済ませても計算はできるけど、1級なら導出を一度は追っておきたい

ベータ分布の平均もこれで1行

ベータ分布 $(a,b)=(3,4)$ なら $3/7\approx 0.429$

＞＞20
二項分布っぽい積分にもそのまま使える

$n=4,k=2$ なら $\frac{2!2!}{5!}=\frac{4}{120}=\frac{1}{30}$

結局、被積分関数を見て $x^{a-1}{e}^{-\lambda x}$ か $x^{a-1}(1-x{)}^{b-1}$ の形にそろえる、が全部の手順ってことか