【疑問】MTBF・故障率・アベイラビリティってどう計算するん？直列と並列で信頼度はどう変わるん【統計検定1級】

12レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

故障率 $0.001$ （1時間あたり）の部品で、100時間の信頼度、直列3個と並列2個の信頼度、修理時間を入れたアベイラビリティを求めよ、って問題

2: 名無しさん

前提のおさらいを2つ
危険率（ハザード）が一定 $λ$ なら寿命は指数分布で、信頼度（生存関数）は $R (t) = e^{- λ t}$
ワイブル分布の形状母数 $m$ は、 $m < 1$ で危険率が減る（初期故障）、 $m = 1$ で一定（偶発故障）、 $m > 1$ で増える（摩耗故障）

3: 名無しさん

＞＞1
偶発故障の期間を指数分布で表すと、平均寿命 $= 1/ λ = 1000$ 時間。修理して使い続けるものではこれを MTBF（平均故障間隔）と呼ぶ
$R (100) = e^{- 0.1} \approx 0.905$

4: 名無しさん

＞＞3
部品が独立なら
直列（1個でも壊れたら止まる）： $R = R_{1} R_{2} R_{3} = 0.90 5^{3} \approx 0.741$ 。 $e^{- 0.3}$ と同じで、故障率が足し算になる

並列（全部壊れたら止まる）： R = 1 - (1 - R_{1}) (1 - R_{2}) = 1 - 0.09 5^{2} \approx 0.991

5: 名無しさん

＞＞4
並列2個の平均寿命は、2つの指数分布の最大値の期待値で $\frac{1}{λ} + \frac{1}{2 λ} = 1500$ 時間
最初の1個が壊れるまで（率 $2 λ$ ）の $500$ 時間と、残り1個の $1000$ 時間の和。指数分布の無記憶性で、残りの1個は新品と同じ

6: 名無しさん

アベイラビリティは、使える状態にある時間の割合

A = \frac{MTBF}{MTBF + MTTR}

MTTR（平均修理時間）が50時間なら $A = 1000/1050 \approx 0.952$ 。2台並列で別々に修理できるなら $1 - 0.04 8^{2} \approx 0.998$

7: 名無しさん

＞＞3
MTBF が1000時間なら、1000時間までは壊れへんってことやろ

8: 名無しさん

＞＞7
違う。 $R (1000) = e^{- 1} \approx 0.368$ で、MTBF の時点までに約63%が壊れてる。平均は長い寿命の部品に引っぱられるから、半分以上が平均より先に壊れる
「何時間までに何%が壊れるか」が知りたいなら、平均やなくて $R (t)$ を見る

9: 名無しさん

＞＞4
並列にしたら信頼度0.991って、計算上はそうでも実際はそこまで上がらんやろ

10: 名無しさん

＞＞9
それは独立の仮定のせい。同じ電源や同じ環境につながってたら、2台が同時に止まる共通原因の故障がある。その分は並列にしても減らない
独立を仮定した値は上限くらいに思っとくほうがいい

11: 名無しさん

＞＞2
指数分布で計算できるのは偶発故障の期間だけ。初期故障や摩耗の期間はワイブルで $m$ を推定して、危険率の変化を入れる。初期故障・偶発故障・摩耗の3つをつなぐと、浴槽（バスタブ）曲線になる

12: 名無しさん

一定の故障率なら $R (t) = e^{- λ t}$ 、MTBF は $1/ λ$ 、直列は掛け算、並列は1から故障確率の積を引く、 $A =$ MTBF $/ ($ MTBF $+$ MTTR $)$ 、MTBF までに約63%が壊れる。これで計算できるな

管理人のひとこと

故障率一定なら $R (t) = e^{- λ t}$ 、MTBF $= 1/ λ$ 。 $λ = 0.001$ で $R (100) \approx 0.905$ 、 $R (1000) \approx 0.368$ （MTBFまでに約63%が故障）。
直列3個 $0.90 5^{3} \approx 0.741$ （故障率が足し算）、並列2個 $1 - 0.09 5^{2} \approx 0.991$ 、並列の平均寿命1500時間。
アベイラビリティ $A = MTBF / (MTBF + MTTR)$ 。MTTR 50時間で約0.952。独立の仮定が崩れる共通原因の故障に注意。