【疑問】対数正規分布の平均と分散、正規分布のモーメント母関数から一瞬で出るってほんま？【統計検定1級】

$Y=e^X$、$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ の平均を、対数正規の密度を積分して出そうとして力尽きた

前提のおさらいを2つ
正規分布のモーメント母関数は $M_X(t)=E[e^{tX}]=\exp (\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2)$
単調な変換の密度は $f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))|d{g}^{-1}/dy|$

＞＞1
積分は要らない。$E[Y^k]=E[e^{kX}]=M_X(k)$ やから

$V[Y]=e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)$

＞＞3
$\mu =0,\sigma =0.5$ なら平均 $e^{0.125}\approx 1.133$、分散 $e^{0.25}(e^{0.25}-1)\approx 0.365$

密度も出しておく。$x=\log y$、$dx/dy=1/y$ で

＞＞5
中央値と最頻値は？

＞＞6
中央値は $P(Y\le e^{\mu })=P(X\le \mu )=0.5$ やから $e^{\mu }$。単調な変換は分位点をそのまま写す
最頻値は密度を微分して $e^{\mu -{\sigma }^2}$
$\mu =0,\sigma =0.5$ なら最頻値 $0.779$ < 中央値 $1$ < 平均 $1.133$

＞＞7
ほな、対数をとって平均して、指数で戻せば平均が出るんやろ

＞＞8
出るのは中央値（幾何平均）で、平均ではない。$e^{E[X]}=e^{\mu }$ と $E[e^X]=e^{\mu +{\sigma }^2/2}$ は違う
$\mu =3,\sigma =1$ なら戻した値は $e^3\approx 20.1$、平均は $e^{3.5}\approx 33.1$。ばらつきが大きいほど差が開く

＞＞9
指数関数は下に凸やから、イェンセンの不等式で $E[e^X]\ge e^{E[X]}$。向きは計算しなくても分かる

かけ算で増える量に合う理由も1行で言える
独立な対数正規どうしの積は、対数をとると正規の和やから、また対数正規。$\log (Y_1{Y}_2)=X_1+X_2$

＞＞3
注意として、対数正規そのもののモーメント母関数は存在しない。$E[e^{tY}]$ は $t>0$ で発散する
使ったのは $X$ の母関数で、$Y$ の母関数ではない

$E[Y^k]=M_X(k)$ で平均と分散、中央値は $e^{\mu }$、戻した平均は中央値。この3つで対数正規の問題はだいたい片づくな