【疑問】指数分布を足すとガンマ分布、をモーメント母関数で示すってどう書くん【統計検定1級】

12レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

窓口に平均1分に2人のペースで客が来るとき、4人目が来るまでの時間の分布を示せ、って問題
指数分布の和なのは分かるけど、答案の形にならん

2: 名無しさん

前提のおさらいを2つ
ハザードが一定 $λ$ の寿命は指数分布 $f (x) = λ e^{- λ x}$ で、到着の間隔もこれ
モーメント母関数が一致すれば同じ分布で、独立な和ではかけ算。正規分布でやったのと同じ流れ

3: 名無しさん

指数分布のモーメント母関数から。 $t < λ$ で

M (t) = \int_{0}^{\infty} e^{t x} λ e^{- λ x} d x = \frac{λ}{λ - t}

$t \geq λ$ では積分が発散するから、範囲を書いておく

4: 名無しさん

ガンマ分布（形状 $a$ 、率 $λ$ ）の密度は $\frac{λ ^{a}}{Γ ( a )} x^{a - 1} e^{- λ x}$ で、ガンマ関数の積分を使うと

M (t) = \frac{λ ^{a}}{Γ ( a )} \int_{0}^{\infty} x^{a - 1} e^{- (λ - t) x} d x = \frac{λ ^{a}}{Γ ( a )} \cdot \frac{Γ ( a )}{( λ - t ) ^{a}} = (\frac{λ}{λ - t})^{a}

5: 名無しさん

＞＞1
答案はこう
間隔 $T_{1}, \dots, T_{4}$ が独立に率2の指数分布、 $S = T_{1} + \dots + T_{4}$ とおくと

M_{S} (t) = (\frac{2}{2 - t})^{4} (t < 2)

これは形状4・率2のガンマ分布の母関数やから、一意性より $S \sim G a (4, 2)$

6: 名無しさん

＞＞5
平均 $a / λ = 2$ 分、分散 $a / λ^{2} = 1$
$P (S \leq 1)$ は「1分で4人以上来る」と同じやから、平均2のポアソンで $1 - e^{- 2} (1 + 2 + 2 + \frac{4}{3}) \approx 0.143$

7: 名無しさん

＞＞6
ガンマの分布関数を積分しなくても、ポアソンの和で出せるんやな

8: 名無しさん

＞＞4
形状が整数じゃないガンマは、指数分布の和としては読めんやろ。そういうのは何のためにあるん

9: 名無しさん

＞＞8
和としての解釈はなくなるけど、再生性はそのまま使える。 $G a (a_{1}, λ) + G a (a_{2}, λ) = G a (a_{1} + a_{2}, λ)$ で、母関数の指数が足し算になるだけ
形状1/2のガンマは自由度1のカイ二乗分布と同じもので、正規分布の2乗から出てくる

10: 名無しさん

ガンマ分布のハザードの形も見ておく
形状2・率1なら $f (x) = x e^{- x}$ 、 $S (x) = (1 + x) e^{- x}$ で、 $h (x) = \frac{x}{1 + x}$
$h (1) = 0.5$ 、 $h (4) = 0.8$ と増えて、1に近づく。形状が1より大きいと増え、1なら一定、1より小さいと減る

11: 名無しさん

＞＞4
本によって $λ$ を率で書くか、尺度 $θ = 1/ λ$ で書くかが違うのも注意
尺度で書くと母関数は $(1 - θ t)^{- a}$ 。どっちで書いたかを最初に宣言する

12: 名無しさん

指数の母関数を出す、 $n$ 乗する、ガンマの母関数と一致、一意性。 $t$ の範囲も書いて4行やな

管理人のひとこと

指数分布の母関数 $λ / (λ - t)$ （ $t < λ$ ）、ガンマ $G a (a, λ)$ は $(λ / (λ - t))^{a}$ 。独立な $n$ 個の和は一意性から $G a (n, λ)$ 。
例：率2で4人目までの時間は $G a (4, 2)$ 、平均2分・分散1。 $P (S \leq 1)$ は平均2のポアソンで4人以上の確率 $\approx 0.143$ 。
形状が整数でなくても再生性は成り立つ。形状1/2・率1/2は自由度1のカイ二乗。
ハザードは形状が1より大きいと増える（形状2で $x / (1 + x)$ ）。率と尺度のどちらで書くかを宣言する。

【疑問】指数分布を足すとガンマ分布、をモーメント母関数で示すってどう書くん【統計検定1級】

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