【疑問】分布関数がシグモイド関数になる分布があるってほんま？ロジスティック回帰の「誤差」って何【統計検定1級】

ロジスティック回帰の説明で「誤差がロジスティック分布に従う」って出てきた
シグモイド関数は知ってるけど、分布って何

前提のおさらい。密度は分布関数を微分したもので、変換した変数の分布は分布関数から出せる
分布関数が先に分かっていれば、密度はそれを微分するだけ

＞＞1
分布関数そのものがシグモイド関数

$x=0$ で $F=0.5$、密度は $0.25$

＞＞3
左右対称やから平均は0。分散は ${\pi }^2/3\approx 3.29$、標準偏差 $1.814$
標準正規より横に広い

分位点は逆関数がそのまま書ける
$F^{-1}(p)=\log \frac{p}{1-p}$。つまりロジット
上側5%点は $\log 19\approx 2.944$。同じ標準偏差の正規分布なら $1.645\times 1.814\approx 2.98$

＞＞1
回帰とのつながりはこう
見えない量 $Y^{\ast }={\beta }_0+{\beta }_{1}x+\epsilon$ を考えて、$Y^{\ast }>0$ なら $Y=1$ とする
$\epsilon$ がロジスティック分布なら、対称性から $P(Y=1)=P(\epsilon >-({\beta }_0+{\beta }_{1}x))=F({\beta }_0+{\beta }_{1}x)$

＞＞6
${\beta }_0=-2,{\beta }_1=0.5$ で $x=6$ なら、$F(1)=1/(1+e^{-1})\approx 0.731$
誤差を正規分布にするとプロビットモデルで、$\Phi (\cdot )$ が入る

＞＞7
ロジットとプロビットって、結局ほとんど同じ結果になるんちゃうの

＞＞8
真ん中あたりはほぼ同じ。$F(1.702x)$ と $\Phi (x)$ の差はどこでも $0.01$ より小さい
だから係数はだいたい1.6〜1.8倍の違いで読み替えられる

＞＞9
でも裾は違う。ロジスティックの尖度は4.2（3を引くと1.2）で、正規より裾が重い
確率が0や1に近いところの当てはまりは変わってくる

＞＞10
ロジットにはオッズで読める良さもある。${\beta }_1=0.5$ なら、$x$ が1増えるとオッズが $e^{0.5}\approx 1.65$ 倍

乱数で作るなら確率積分変換で $X=\log \frac{U}{1-U}$。$U=0.9$ なら $\log 9\approx 2.197$

分布関数がシグモイド、密度は $F(1-F)$、分位点はロジット。回帰の「誤差」は見えない量の誤差のことやったんやな