【疑問】2標本の平均の差、等分散のt検定とウェルチの検定、どっちを使うん？自由度が小数になるのはなんで【統計検定1級】

2群の平均の差の検定で、等分散を仮定する版とウェルチの版の両方を導け、って問題

前提のおさらいを2つ
1標本では $t=(\bar{x}-{\mu }_0)/(s/\sqrt{n})$ が $t_{n-1}$ に正確に従う
正規なら $(n-1)s^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n-1}^2$、独立な ${\chi }^2$ の和は自由度を足した ${\chi }^2$

＞＞1
等分散なら、2群の偏差平方和を足して ${\sigma }^2$ を1つ推定する
$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$、$(n_1+n_2-2)s_p^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{n_1+n_2-2}^2$

＞＞3
数字で。$n_1=10,{\bar{x}}_1=52.3,s_1^2=16$、$n_2=13,{\bar{x}}_2=48.1,s_2^2=6.25$
$s_p^2=(144+75)/21\approx 10.43$、標準誤差 $\approx 1.358$、$t\approx 3.09$
$t_{21}$ の上側2.5%点 $2.080$ を超えて、P値約0.0055

＞＞1
分散が違うと、$\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}$ で割った統計量はちょうど $t$ 分布にならない（ベーレンス・フィッシャー問題）
そこで分母を ${\chi }^2$ で近似して、自由度を合わせる（サタースウェイトの近似）

＞＞5
同じデータで、標準誤差 $\sqrt{1.6+0.481}\approx 1.442$、$t\approx 2.91$、$\nu \approx 14.26$
$t_{14.26}$ の上側2.5%点は約 $2.141$、P値約0.011
分散の大きい群の $n$ が小さいから、等分散版より慎重な結果になる

＞＞6
自由度が小数ってありなん？

＞＞7
近似の分布の母数やから整数である必要はない。$t$ 分布の密度はガンマ関数で書けて、小数の自由度でも定義できる

＞＞5
先にF検定で等分散を調べて、棄却されなければ等分散版、という手順で十分やろ

＞＞9
それはすすめられない。前の検定の結果で後の検定を選ぶと、全体のサイズが名目からずれる
F検定は正規の仮定にも弱い。最初からウェルチにしておけば、等分散でも損はわずか

＞＞10
$n_1=n_2$ なら等分散版も分散の違いに強い。崩れるのは、$n$ の小さい群の分散が大きいとき

等分散なら合併して $t_{n_1+n_2-2}$、違うならサタースウェイトの $\nu$。事前検定で選ばない。これで整理できるな