【疑問】尖度って「山の尖り具合」ちゃうの？裾の話って言われて混乱してる【統計検定準1級】

歪度と尖度、平均と分散のあとに出てくるけど、何を測ってるのかいまいち分からん
尖度は山の尖り具合、でええんやろ？

＞＞1
定義のおさらいから。平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ として、歪度は3乗、尖度は4乗の平均

標準化してから何乗かするから、単位にも位置にもよらない

＞＞2
歪度のほうは？

＞＞3
3乗は符号が残るから、右に長い裾があるとプラス、左に長いとマイナス、左右対称なら0
指数分布は2、平均4のポアソン分布は $1/\sqrt{4}=0.5$、正規分布と一様分布は0

＞＞4
尖度は？

＞＞5
正規分布でちょうど3になる。だから3を引いた「超過尖度」で言うことも多い
超過尖度でいうと、指数分布は6、自由度5のt分布は6、一様分布は $-1.2$
ソフトによって3を引いた値を出すものとそのままのものがあるから、どっちか確認する

＞＞6
t分布が6ってことは、正規分布より山が尖ってるってことやろ

＞＞7
そこが誤解されやすいところ。4乗の平均は、標準化して絶対値が1を超える部分でほとんど決まる
標準正規分布で計算すると、$E[Z^4]=3$ のうち約96%は $|Z|>1$ の部分から来てる
だから尖度が大きいのは「裾が重い（極端な値が出やすい）」ってことで、山のてっぺんの形はほとんど効いてない

＞＞8
でも教科書の図だと、尖度が大きい分布は山がとがって描いてあるぞ

＞＞9
よくある図は、裾が重くて真ん中もとがった分布を選んで描いてるだけ
真ん中が平らでも裾が重ければ尖度は大きくなるし、尖った山でも裾が軽ければ大きくならない。「尖り」は名前の由来で、中身は裾の重さ、と読むほうが安全

データから計算するときは？

＞＞11
平均と標準偏差（$n$ で割る）をデータから出して、同じ式で平均をとる
データ 1, 1, 2, 2, 3 なら、歪度は約0.34、尖度は約1.85（超過尖度で約 $-1.15$）
5個くらいやと値がすごくぶれるから、数個のデータの尖度はほぼ当てにならん

＞＞12
なら正規分布かどうかの判断にも使えんのか

＞＞13
データが多ければ使える。歪度 $S$ と尖度 $K$ から作るジャック・ベラ統計量

正規分布なら近似的に自由度2のカイ二乗分布に従う
$n=100$、$S=0.5$、$K=4$ なら $JB=\frac{100}{6}(0.25+0.25)\approx 8.33$。自由度2の上側5%点5.99を超えるから、正規分布とは言いにくい

＞＞14
そんな数字を見るより、ヒストグラムを見たほうが早いやろ

＞＞15
両方要ると思う。図は形全体が見えるけど、人によって読み方が変わる
歪度・尖度は数字で比べられるし、何百ものデータの列をまとめてチェックするときは図を全部見るのは無理

歪度と尖度が分かると、何がうれしいん

＞＞17
正規分布を前提にした方法が使えるかの目安になる
歪度が大きければ平均と中央値がずれやすい。超過尖度が大きければ極端な値が多くて、「平均 ± 2 × 標準偏差に約95%」みたいな正規分布の感覚が外れやすい

歪度は3乗で裾の向き、尖度は4乗で裾の重さ。正規分布は歪度0・尖度3。尖度は山の尖りやなくて裾。データが少ないとあてにならん。やっと整理できた