【疑問】F分布の密度と、t²=F やベータ分布との関係、まとめて示せって言われた【統計検定1級】

$F=\frac{U/m}{V/n}$（$U\sim {\chi }_m^2$、$V\sim {\chi }_n^2$、独立）の密度を導いて、$t^2$ やベータとの関係も示せ
全部いっぺんにやると混乱する

前提のおさらいを2つ
${\chi }_k^2$ はガンマ分布 $Ga(k/2,1/2)$
比の分布は、補助変数を置いてヤコビアンをかけ、補助変数を積分で消す

＞＞1
ベータを経由すると一番短い
$U$ と $V$ は率 $1/2$ が同じガンマやから、$B=\frac{U}{U+V}\sim Be(m/2,n/2)$
$F=\frac{n}{m}\cdot \frac{U}{V}=\frac{n}{m}\cdot \frac{B}{1-B}$ と1変数の単調な変換で書ける

＞＞3
$b=\frac{mx}{n+mx}$、$\frac{db}{dx}=\frac{mn}{(n+mx{)}^2}$ を入れて整理すると

＞＞3
数字でベータとの関係を確かめる
$m=4,n=6$ なら $P(F\le 1)=P(B\le \frac{4}{4+6})=P(Be(2,3)\le 0.4)\approx 0.525$

＞＞1
$t^2$ は定義から。$T=Z/\sqrt{V/k}$ なら $T^2=\frac{Z^2/1}{V/k}$ で、$Z^2\sim {\chi }_1^2$ やから $T^2\sim F(1,k)$
$t_{10}$ の両側5%点 $2.228$ の2乗は $4.964$ で、$F(1,10)$ の上側5%点 $4.965$ と一致

逆数は自由度を入れ替えたF分布
$1/F=\frac{V/n}{U/m}\sim F(n,m)$ やから、下側の点は $F_{1-\alpha }(m,n)=1/F_{\alpha }(n,m)$
$F(10,5)$ の上側5%点 $4.735$ から、$F(5,10)$ の下側5%点は $1/4.735\approx 0.211$

＞＞7
表に上側しか載ってない理由がこれか

＞＞1
平均は？

＞＞9
$n>2$ で $E[F]=\frac{n}{n-2}$。分母の自由度だけで決まる
$n=10$ なら $1.25$。$E[1/V]$ が $1/(n-2)$ になるところから出る

＞＞4
結局F分布って、分散の比の検定のためだけの分布やろ

＞＞11
分散の比のほかにも、分散分析の群間と群内の比、回帰の係数の検定、$t$ の2乗と、カイ二乗どうしの比が出る場面ならどこでも使う
比の分子と分母が独立なカイ二乗になっているかどうかを確かめるのが大事

ベータを経由して密度、$T^2=F(1,k)$、$1/F$ で自由度入れ替え。3つの関係をまとめて押さえれば表の読み方まで分かるな