【疑問】時系列の自己相関ってどう計算するん？定常性って何を仮定してるん【統計検定1級】

8個の系列 $3,5,4,6,5,7,6,8$ の標本自己相関をラグ1とラグ2で求めて、系列の性質を述べよ、って問題

前提のおさらい。2つの変数の相関係数は共分散を標準偏差の積で割ったもの
$r=\frac{s_{xy}}{s_x{s}_y}$。偏相関は第3の変数の影響を除いてから同じ計算をしたもの
自己相関は、同じ系列を時点をずらして自分自身との相関をとる

＞＞1
時点 $t$ と $t+k$ の共分散を自己共分散 $\gamma (k)$ と呼ぶ。弱定常は

自己相関は $\rho (k)=\gamma (k)/\gamma (0)$。時点をずらしても性質が変わらない、という仮定

数字で。平均 $\bar{x}=5.5$。標本自己共分散は $\hat{\gamma }(k)=\frac{1}{n}{\sum }_{t=1}^{n-k}(x_t-\bar{x})(x_{t+k}-\bar{x})$
$\hat{\gamma }(0)=18/8=2.25$、$\hat{\gamma }(1)=2.25/8\approx 0.281$、$\hat{\gamma }(2)=8.5/8\approx 1.06$
$\hat{\rho }(1)\approx 0.125$、$\hat{\rho }(2)\approx 0.472$

＞＞4
ラグ1の相関が0.125しかないなら、隣どうしはほとんど関係ないってことやろ

＞＞5
逆。この系列は「上がって少し下がる」をくり返しながら全体が上がってる。ジグザグ（隣と逆向き）と上昇傾向（隣と同じ向き）が打ち消しあって、ラグ1が小さく見えてるだけ
差分 $x_t-x_{t-1}$ をとると $2,-1,2,-1,2,-1,2$ で、ラグ1の自己相関は約 $-0.857$。ジグザグがはっきり出る

＞＞4
なんで $n-k$ やなくて $n$ で割るん？足してる項は $n-k$ 個やろ

＞＞7
$n$ で割ると、$\hat{\gamma }(0),\hat{\gamma }(1),\dots$ を並べた自己共分散行列が必ず非負定値になる。$n-k$ で割ると大きいラグで値が暴れて、それが崩れることがある
偏りは少し出るけど、ラグが $n$ に比べて小さければ差は小さい

定常でない例も。ランダムウォーク $X_t=X_{t-1}+{\epsilon }_t$ は $V[X_t]=t{\sigma }^2$ で時点とともに増えるから、弱定常の条件を満たさない
長さ100のランダムウォークを1本作ると、標本自己相関はラグ1で0.91、ラグ5で0.66、ラグ10で0.42 と、なかなか下がらない。差分をとると $-0.11,0.06,-0.17$

＞＞9
ホワイトノイズなら標本自己相関はだいたい $\pm 2/\sqrt{n}$ に入る。$n=100$ なら $\pm 0.2$。差分の3つはどれもこの中

＞＞10
なら、全部のラグが $\pm 0.2$ に入ったらホワイトノイズで確定やな

＞＞11
確定はできん。帯はラグごとの95%の目安やから、20個見れば1個くらいは外に出るのがふつう。逆に、全部入っていても弱い相関がたくさん重なってることはある
まとめて調べるなら、自己相関の2乗を足すかばん検定（リュング・ボックス検定）を使う

弱定常は平均一定・自己共分散がずれだけで決まる、$\hat{\gamma }(k)$ は $n$ で割る、傾向があると自己相関がゆがむから差分も見る、帯 $\pm 2/\sqrt{n}$ はラグごとの目安。これで計算できるな