【疑問】F分布って、分散どうしを割り算して何がわかるん？【統計検定準1級】

F検定とか分散分析とか、F がいっぱい出てくる
F分布って結局何なんや

＞＞1
カイ二乗分布（標準正規の値の2乗和の分布）を2つ使う
それぞれを自由度で割って、比をとったものの分布

自由度が2つ（分子の $m$ と分母の $n$）あるのが特徴

＞＞2
式だけやとピンとこん

＞＞3
正規分布のデータなら、不偏分散（$n-1$ で割った分散）を本当の分散で割ったものが、まさに「カイ二乗÷自由度」の形になる
だから2つのグループの分散が同じなら、不偏分散どうしの比がF分布に従う

例で頼む

＞＞5
機械Aで作った部品11個の不偏分散が9、機械Bで13個の不偏分散が4

自由度は分子が $11-1=10$、分母が $13-1=12$

＞＞6
2.25倍もばらつきが違うなら、Aのほうがばらつくって言えるやろ

＞＞7
言えん。自由度(10, 12)のF分布で、上側2.5%の境目は約3.37
2.25はそこまで届かん。両側のp値は約0.18
このくらいのデータ数やと、分散が本当に同じでも2倍くらいの比は普通に出る

＞＞8
分子と分母を逆にしたらどうなるん

＞＞9
逆にすると自由度も入れ替わって(12, 10)になる
下側の境目は、逆向きの上側の境目の逆数

表には上側しか載ってないことが多いから、この関係で下側を出す

分散分析のFも同じもの？

＞＞11
同じ。3つのグループの平均に差があるかを調べるときに使う
グループ1：4, 5, 6, 5, 5
グループ2：6, 7, 8, 7, 7
グループ3：5, 6, 7, 6, 6
平均はそれぞれ5, 7, 6で、全体の平均は6

＞＞12
で、どう計算するん

＞＞13
グループ間のばらつき（グループ平均が全体平均からどれだけずれるか）

グループ内のばらつき（各グループの中で、値がグループ平均からどれだけずれるか）は、どのグループも $1+0+1+0+0=2$ で、合計6

＞＞14
それをどう割るん

＞＞15
それぞれ自由度で割る。グループ間は「グループ数−1」で2、グループ内は「データ数−グループ数」で $15-3=12$

自由度(2, 12)の上側5%点は約3.89で、10はそれを大きく超える。p値は約0.003
「グループの平均に差がある」と言える

＞＞16
平均の差を調べてるのに、分散の比を見てるのが不思議やな

＞＞17
グループ間のばらつきが、グループ内のばらつきに比べて大きすぎるなら、平均がずれてると考えるってこと

t検定とはどう関係するん

＞＞19
2グループならF検定とt検定は同じ結論になる。t の2乗が、分子の自由度1のF分布に従う
自由度15のtの両側5%点2.131を2乗すると約4.54で、自由度(1, 15)のFの上側5%点と一致する

＞＞20
いや、それなら全部t検定でええやん。3グループでも2つずつ比べれば

＞＞21
2つずつ何回も検定すると、どこかで偶然「有意」が出る確率が5%より大きくなる
3グループ全体を1回で調べるのが分散分析の役目