【疑問】カイ二乗分布の密度、標準正規の2乗から本当に導けるん？ガンマ分布の仲間ってどういうこと【統計検定1級】

カイ二乗分布の密度の式が複雑すぎて覚えられん
導出できれば覚えなくて済むんやろうけど

前提のおさらいを2つ
$Z\sim N(0,1)$ のとき、$Y=Z^2$ は $\pm \sqrt{y}$ の2つの枝を足して $f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-y/2}$
ガンマ分布 $Ga(a,\lambda )$ の母関数は $(\lambda /(\lambda -t){)}^a$ で、率が同じなら形状が足し算

＞＞1
まず自由度1。上の密度を書き直すと

$\Gamma (1/2)=\sqrt{\pi }$ やから定数も合ってる。形状 $1/2$・率 $1/2$ のガンマ分布

＞＞3
$Z_1,\dots ,Z_k$ が独立なら、再生性で $\sum Z_i^2\sim Ga(k/2,1/2)$。これを自由度 $k$ のカイ二乗分布と呼ぶ

＞＞4
ガンマの式に入れるだけで出るんか。平均と分散も？

＞＞5
ガンマの平均 $a/\lambda$ と分散 $a/{\lambda }^2$ に入れて、平均 $k$、分散 $2k$
母関数は $(1-2t{)}^{-k/2}$（$t<1/2$）

自由度2は特別で、形状1のガンマ、つまり平均2の指数分布
$P({\chi }_2^2>x)=e^{-x/2}$ やから、上側5%点は $2\log 20\approx 5.991$
表の値と一致する

＞＞3
自由度1の上側5%点は $1.96^2\approx 3.841$。$|Z|>1.96$ と $Z^2>3.841$ は同じ事象

＞＞4
ガンマの仲間って言われても、自由度の意味がピンとこん。形状の2倍って何の数なん

＞＞9
足した独立な標準正規の2乗の個数。形状がそのつど $1/2$ ずつ増える
ただガンマとして見ると $k$ は整数でなくてもいい。答案では「独立な標準正規の2乗和」と定義から書けば十分

＞＞10
でも実際の場面では、標準正規そのものの2乗和なんか出てこんやろ。平均を引いた偏差の2乗和とか

＞＞11
そこは、偏差の2乗和を独立な標準正規の2乗和に書き直せるかどうかの話になる。書き直せたときに、何個分かが自由度

自由度が大きいときは中心極限定理で $({\chi }_k^2-k)/\sqrt{2k}$ が標準正規に近づく
$k=50$ なら上側5%点の近似は $50+1.645\times 10\approx 66.4$、正確な値は約 $67.5$
右に長い分の差が残る

$Z^2$ の密度を変数変換で出す、ガンマの形に書き直す、再生性で $k$ 個。3段で密度が出るなら覚えなくてもええな