【疑問】十分統計量って、データを要約しても情報が減らないってどういう意味なん【統計検定1級】

コインを $n$ 回投げたら、表の回数だけ分かれば $p$ の推測には十分、って言われた
順番の情報を捨ててるのに、なんで十分って言えるん

前提のおさらいを2つ
ベルヌーイ $n$ 回の表の回数 $T=\sum X_i$ は $Bin(n,p)$
条件付き分布は、同時分布を条件側の周辺で割ったもの

＞＞1
定義はこう

$T$ が分かったあと、残りのデータは $\theta$ と関係のないくじ引きにすぎない

＞＞3
$n=3$ で $T=1$ のときを計算する

$(0,1,0)$、$(0,0,1)$ も $1/3$。$p$ が消えるから十分

＞＞4
逆に十分でない例は？

＞＞5
1回目の結果 $X_1$ だけを残すと、$X_1=1$ のもとで $P(X_2=1\mid X_1=1)=p$
$p$ が残るから、$X_1$ だけでは $p$ の情報を捨ててる

ポアソンでも同じ。$X_1,X_2$ が独立に平均 $\lambda$ のポアソンなら
合計 $T=4$ のもとで $X_1\sim Bin(4,1/2)$ になって、$\lambda$ が消える
$P(X_1=1\mid T=4)=4/16=0.25$ は $\lambda$ がいくつでも同じ

正規分布（${\sigma }^2$ は既知）なら $\bar{X}$ が $\mu$ の十分統計量
$n=2$ なら $X_1-\bar{X}$ は $\bar{X}$ と独立で平均0、分散 ${\sigma }^2/2$
$X_1\mid \bar{X}=\bar{x}\sim N(\bar{x},{\sigma }^2/2)$ で、$\mu$ が入ってない

＞＞3
「情報が減らない」の意味を、もう少し具体的に言えん？

＞＞9
$T$ だけ持っていれば、$\theta$ を知らなくても、条件付き分布からくじを引いて元のデータと同じ分布の偽データを作れる
偽データからできることは $T$ からできるから、$T$ より多くの情報は元データにない

＞＞10
それなら十分統計量だけ残して、元データは捨ててええってこと？

＞＞11
モデルが正しいと決まってる前提での話。ベルヌーイの仮定自体（試行が独立か、$p$ が途中で変わってないか）を確かめるには順番が要る
十分性はモデルの中で $\theta$ を推測するときだけの十分さ

＞＞12
データ全体もいつも十分統計量やし、並べ替えた順序統計量も独立同分布なら十分。どれだけ短く要約できるかが本題やな

条件付き分布を計算して $\theta$ が消えるか見る。定義どおりに確かめるなら、この1本で答案になるな