【疑問】ネイマンの分解定理で十分統計量が一発で見つかるってほんま？指数型分布族とどう関係するん【統計検定1級】

十分統計量を条件付き分布で確かめるのは分かったけど、毎回あの計算をするのはしんどい
何が十分統計量なのか、先に見つける方法はないん

前提のおさらい。$T$ が十分統計量とは、$T=t$ のもとでのデータの条件付き分布が母数 $\theta$ によらないこと
定義に戻ると、条件付き確率を全部計算することになる

＞＞1
分解定理を使う

と、$\theta$ が入る部分が $T$ を通してだけ $x$ に関わる形に分けられれば、$T$ は十分統計量（逆も成り立つ）

＞＞3
ポアソンでやる

$T=\sum x_i$ が十分統計量

＞＞4
数字で確かめる。データ $(2,0,4)$ と $(1,3,2)$ はどっちも合計6
尤度の比は $\frac{1/(2!0!4!)}{1/(1!3!2!)}=\frac{1/48}{1/12}=0.25$ で、$\lambda$ がいくつでも同じ
$\lambda$ について分かることは、2つのデータで変わらない

正規分布で $\mu$ と ${\sigma }^2$ が両方未知なら
$\prod f=(2\pi {\sigma }^2{)}^{-n/2}\exp \left(-\frac{\sum x_i^2-2\mu \sum x_i+n{\mu }^2}{2{\sigma }^2}\right)$
$x$ は $\sum x_i$ と $\sum x_i^2$ を通してだけ入るから、$(\sum x_i,\sum x_i^2)$ が十分統計量

一様分布 $U(0,\theta )$ は指示関数に気をつける

$\theta$ が入るのは $\max x_i$ を通してだけやから、最大値が十分統計量

＞＞3
指数型分布族っていうのは、この分解がいつもきれいにできる族のこと？

＞＞8
そう。1つの観測の密度が

と書ければ、$n$ 個の積は $c(\theta {)}^n\exp \{\eta (\theta )\sum T(x_i)\}\prod h(x_i)$ で、$\sum T(x_i)$ が十分統計量

＞＞9
ベルヌーイなら $p^x(1-p{)}^{1-x}=(1-p)\exp \{x\log \frac{p}{1-p}\}$ で、$\eta$ はロジット
$p=0.2$ なら $\eta =\log 0.25\approx -1.386$。ロジスティック回帰でロジットが出てくるのもここから

＞＞7
一様分布は指数型やないよな。範囲が $\theta$ で動くから

＞＞11
でも指数型でなくても十分統計量は1個で済んでる。指数型かどうかと、要約が短くなるかどうかは別の話やろ

＞＞12
範囲が動かない分布に限ると、$n$ によらない次元の十分統計量があるのは指数型分布族だけ、という結果がある
コーシー分布の位置母数だと、順序統計量（実質データ全部）より短くできない

積の形に書いて、$\theta$ が $x$ と出会う場所を探す。指示関数も忘れずに。この手順で分解定理が使えるな