【疑問】同時密度から周辺密度と条件付き密度を出すとき、積分の範囲でいつも間違える【統計検定1級】

同時密度が三角形の領域だけで正になってる問題で、周辺密度を出したら全部積分しても1にならんかった
範囲の取り方がいつもあやしい

前提のおさらい。1変数では密度 $f(x)$ を区間で積分すると確率になる
2変数では同時密度 $f(x,y)$ を領域 $A$ で重積分して $P((X,Y)\in A)={\iint }_{A}f(x,y)dxdy$
重積分は内側の変数から1つずつ積分すればいい

まず表で考えると早い。離散の同時確率がこうなってるとする
$X=0$ の行：$P(0,0)=0.10,P(0,1)=0.20,P(0,2)=0.10$
$X=1$ の行：$P(1,0)=0.30,P(1,1)=0.20,P(1,2)=0.10$
合計は1.00

＞＞3
周辺分布は行や列の合計

$X$：$0.4,0.6$。$Y$：$0.4,0.4,0.2$

＞＞4
条件付き分布は、その行だけ取り出して行の合計で割る

$X=0$ なら $Y$ は $0.25,0.5,0.25$ で、$E[Y\mid X=0]=1.0$
$X=1$ なら $0.5,0.333,0.167$ で、$E[Y\mid X=1]\approx 0.667$

＞＞1
連続でも同じで、和が積分に変わるだけ
例として $f(x,y)=8xy$（$0<y<x<1$）、それ以外は0
全体の積分は

＞＞6
周辺密度はどう出すん

＞＞7
$X$ の周辺は $y$ を消す。$x$ を固定すると $y$ は $0$ から $x$ まで

$Y$ の周辺は $x$ を消す。$y$ を固定すると $x$ は $y$ から $1$ まで

＞＞8
確認すると ${\int }_0^1(4y-4y^3)dy=2-1=1$
$y$ の周辺で $x$ を $0$ から $1$ まで積分すると $4y$ になって、全体が2になる。たぶんこれをやってた

＞＞6
$8xy=8x\cdot y$ で $x$ の関数と $y$ の関数の積やから、$X$ と $Y$ は独立ちゃうの

＞＞10
独立ではない。積の形に分かれても、正になる範囲が長方形じゃないとあかん
$f_X(x)f_Y(y)=16x^{3}y(1-y^2)$ は $8xy$ と違う
$x=0.3$ を知ったら $Y<0.3$ に決まるから、$X$ の値で $Y$ の範囲が変わってる

＞＞8
条件付き密度も出すと

$X=0.8$ なら $P(Y<0.4\mid X=0.8)={\int }_0^{0.4}\frac{2y}{0.64}dy=\frac{0.16}{0.64}=0.25$

＞＞12
条件付き期待値は $E[Y\mid X=x]={\int }_0^{x}y\cdot \frac{2y}{x^2}dy=\frac{2x}{3}$
$X=0.9$ なら $0.6$

範囲の取り方は、図を描くか指示関数で書くかで分かれる気がする

＞＞14
図を描くのがいちばん安全。三角形に縦線を引けば $y$ の範囲、横線を引けば $x$ の範囲が見える

＞＞15
答案には図が描けんこともあるし、密度に $I(0<y<x<1)$ を付けて書いたほうが式だけで追える
$y$ を固定したときに $x$ に残る条件 $y<x<1$ がそのまま積分範囲になる

表でも式でも、周辺は「消したい変数で足す」、条件付きは「残した行を合計で割る」。連続になったら、範囲を変数ごとに書き直すのを忘れんことやな