【疑問】二項分布の分散 np(1−p)、定義から・和から・母関数から、3通りで出せって言われた【統計検定1級】

二項分布 $Bin(n,p)$ の平均と分散を3通りで導け、って問題
和で出すやり方しか知らん

前提のおさらい。モーメント母関数は $M(t)=E[e^{tX}]$ で、$M^{\prime }(0)=E[X]$、$M^{\prime \prime }(0)=E[X^2]$
独立な和のモーメント母関数はかけ算になる

ベルヌーイ（確率 $p$ で1、$1-p$ で0）から
$X^2=X$ やから $E[X]=E[X^2]=p$、$V[X]=p-p^2=p(1-p)$
モーメント母関数は $M(t)=1-p+p{e}^t$

＞＞1
1つ目は定義から。$k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1}\right)$ を使うと

残った和は $Bin(n-1,p)$ の確率の合計で1

＞＞4
分散は $E[X^2]$ を直接やると重い。$E[X(X-1)]$ にすると同じ技が2回使える

＞＞1
2つ目は和。$X=B_1+\cdots +B_n$（独立なベルヌーイ）と書けば
$E[X]=np$、独立やから $V[X]=n\cdot p(1-p)$
2行で終わる

＞＞1
3つ目はモーメント母関数
$M(t)=(1-p+p{e}^t{)}^n$ を微分して
$M^{\prime }(t)=np{e}^t(1-p+p{e}^t{)}^{n-1}$ で $M^{\prime }(0)=np$
$M^{\prime \prime }(0)=np+n(n-1)p^2$、引くと $np(1-p)$

数字で。$n=20,p=0.3$ なら
平均6、$E[X(X-1)]=380\times 0.09=34.2$、分散 $34.2+6-36=4.2=20\times 0.3\times 0.7$

＞＞6
答案なら和のやり方だけでええやろ。いちばん短くて間違えにくい

＞＞9
3通りと指定されたら全部要るし、和のやり方は独立なベルヌーイに分けられることを言わないと根拠が抜ける
それに、高次のモーメントが欲しいときは母関数が強い

＞＞10
たとえば歪度は3次の中心モーメントから $\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}$ になる
$n=20,p=0.3$ なら $0.4/\sqrt{4.2}\approx 0.195$。$p=0.5$ なら0で左右対称

確率がいちばん大きくなる値（最頻値）はどう出すん

＞＞12
隣どうしの比を見る

これが1より大きいあいだは増えるから、最頻値は $(n+1)p$ を超えない最大の整数。$n=20,p=0.3$ なら6で、$P(X=6)\approx 0.192$

定義からは $E[X(X-1)]$、和からは独立、母関数からは2回微分。どれも1つずつ要点があるんやな