【疑問】ポアソン X と Y の合計が分かったら、X は二項分布になるってなんで？【統計検定1級】

窓口Aの客数 $X$ が平均3、窓口Bの客数 $Y$ が平均1のポアソン分布で独立。合計が6人と分かったとき、$X$ の分布を求めよ
ポアソンの条件付きなのに二項分布が答えらしい

前提のおさらいを2つ
モーメント母関数が一致すれば同じ分布で、独立な和ではかけ算になる
ポアソン分布は、$np=\lambda$ 一定で $n\to \infty$ にした二項分布の極限

まず和から。ポアソンのモーメント母関数は $\exp (\lambda (e^t-1))$
かけると $\exp (({\lambda }_1+{\lambda }_2)(e^t-1))$ で、$X+Y\sim Po({\lambda }_1+{\lambda }_2)$。例なら $Po(4)$

＞＞3
母関数を使わずに畳み込みでも出る

最後の和は二項定理で $({\lambda }_1+{\lambda }_2{)}^n$

＞＞1
条件付き確率の定義に入れる

分子で独立を使った。$e^{-\lambda }$ と $n!$ が全部約分されて、$Bin(n,{\lambda }_1/({\lambda }_1+{\lambda }_2))$ が残る

＞＞5
例なら $Bin(6,0.75)$。$E[X\mid X+Y=6]=4.5$、全員がAに来た確率は $0.75^6\approx 0.178$

＞＞5
$X$ と $Y$ は独立なのに、合計で条件付けたら独立じゃなくなるんか

＞＞7
合計が6と決まったら、$X$ が1増えれば $Y$ は1減る。条件付きでは $Y=6-X$ で、共分散は $-V[X\mid S]=-6\times 0.75\times 0.25=-1.125$
条件付けで独立が崩れるのはよくあること

使いどころは2つのポアソンの比較
${\lambda }_1={\lambda }_2$ なら、合計 $n$ のもとで $X\sim Bin(n,0.5)$。母数 $\lambda$ が式から消える
合計10件のうち9件がAなら、$P(X\ge 9)=(10+1)/1024\approx 0.0107$

＞＞9
それ、合計で条件付けたら情報を捨ててない？合計自体も $\lambda$ の情報を持ってるやろ

＞＞10
合計が持ってるのは ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ の大きさの情報。知りたいのは2つが等しいかどうかで、比の ${\lambda }_1/({\lambda }_1+{\lambda }_2)$ の情報は条件付き分布に全部入ってる
しかも条件付きなら分からない $\lambda$ を推定せずに済む

逆向きもある。客数 $N\sim Po(10)$ で、1人ずつ独立に確率0.3で窓口Aを選ぶとすると
A の客数は $Po(3)$、B の客数は $Po(7)$ で、しかもこの2つは独立

＞＞12
条件付きで二項、合計はポアソン。どっち向きにも行き来できるんやな。答案では独立の仮定をどこで使ったかを書いておく