【疑問】ラオ・ブラックウェルの定理で、十分統計量で条件付けると分散が減るのはなんで？【統計検定1級】

ラオ・ブラックウェルの定理の証明、全分散の公式を使うってところまでは見たけど、なんで十分統計量が要るのか分からん

前提のおさらいを3つ
推定量の良さは平均二乗誤差で比べ、不偏なら分散で比べる
分解定理：$f(x;\theta )=g(T(x);\theta )h(x)$ と書ければ $T$ は十分統計量で、$T$ のもとでのデータの条件付き分布は $\theta$ によらない
全分散の公式：$V[X]=E[V[X\mid Y]]+V[E[X\mid Y]]$

主張から。$\tilde{\theta }$ が不偏推定量、$T$ が十分統計量なら、${\theta }^{\ast }=E[\tilde{\theta }\mid T]$ について

＞＞3
証明は全分散の公式で1行

不偏性は繰り返し期待値 $E[E[\tilde{\theta }\mid T]]=E[\tilde{\theta }]=\theta$ から

＞＞1
十分統計量が要るのは、$E[\tilde{\theta }\mid T]$ を計算できるようにするため
条件付き分布が $\theta$ によらないから、$E[\tilde{\theta }\mid T]$ も $\theta$ を含まない $T$ の関数になって、推定量として使える
十分でない $T$ で条件付けると、結果に $\theta$ が残って計算できない

ベルヌーイでやる。$\tilde{\theta }=X_1$（1回目だけ）は不偏で分散 $p(1-p)$
$T=\sum X_i$ のもとで、$X_1=1$ の確率は対称性で $T/n$。だから ${\theta }^{\ast }=T/n=\bar{X}$
分散は $p(1-p)/n$ に減る

＞＞6
ポアソンの $e^{-\lambda }$ でも
$\tilde{\theta }=I(X_1=0)$ は不偏。$T=t$ のもとで $X_1\sim Bin(t,1/n)$ やから

＞＞7
$\lambda =1.5,n=10$ で分散を比べると、$I(X_1=0)$ は $e^{-1.5}(1-e^{-1.5})\approx 0.173$
$(0.9{)}^T$ は $E[0.81^T]-e^{-3}=e^{-2.85}-e^{-3}\approx 0.0081$。20分の1以下

一様分布 $U(0,\theta )$ では $\tilde{\theta }=2X_1$、$T=\max X_i=m$ とすると
$X_1$ は確率 $1/n$ で $m$ そのもの、残りの確率で $U(0,m)$ やから
$E[2X_1\mid T=m]=2\left[\frac{m}{n}+\frac{n-1}{n}\cdot \frac{m}{2}\right]=\frac{n+1}{n}m$

＞＞9
偏りを直した最大値が、条件付けで自動的に出てくるんやな

＞＞3
でもこれで出た推定量が一番いいとは限らんやろ。元の $\tilde{\theta }$ を変えたら違う答えになるかもしれん

＞＞11
それを片づけるのがレーマン・シェフェの定理。$T$ が完備でもあれば、どの不偏推定量から始めても同じ ${\theta }^{\ast }$ になって、それが一様最小分散不偏推定量
ベルヌーイ、ポアソン、一様分布の例は、どれも $T$ が完備

＞＞12
完備でないと、条件付けた結果が始め方で変わることがある。その場合は「改良はできる」までしか言えない

不偏なものを1つ見つける、十分統計量で条件付ける、条件付き期待値を計算する。分散が減る理由は全分散の公式、という流れで書けばいいんやな