【疑問】符号検定って、差のプラスとマイナスを数えるだけでほんまに検定になるん？t検定と比べてどうなん【統計検定1級】

12人の前後差が、プラス10人・マイナス2人やった。分布を仮定せずに、差の中央値が0かを検定せよ、って問題

前提のおさらい。二項の正確検定は、帰無仮説のもとの二項確率を直接足してP値を出す。$n=20$、$p_0=0.5$、$x=15$ なら片側約0.0207

＞＞1
差の中央値が0なら、各差がプラスになる確率は $1/2$。プラスの個数 $S$ は

分布の形は何も仮定してない。使ってるのは、差が独立で、中央値の上と下に半々で出ることだけ

＞＞3
数字で。差は $1.2,0.8,2.5,-0.3,1.9,0.4,3.1,0.7,-1.1,1.5,0.9,2.2$
$P(S\ge 10)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{10}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{11}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{12}\right)}{2^{12}}=\frac{66+12+1}{4096}\approx 0.0193$
両側は約0.0386。正規近似（連続修正あり）は $z=(9.5-6)/\sqrt{3}\approx 2.02$ で片側約0.0217

＞＞1
差がちょうど0の人がいたら？

＞＞5
ふつうは0の人を除いて $n$ を減らす。0は「プラスかマイナスか」の情報を持ってないから

＞＞4
同じデータで対応のある $t$ 検定をすると、平均 $1.15$、標準偏差 $1.19$ で $t\approx 3.35$、両側P値約0.0064
符号しか使わないぶん、捨ててる情報が多いやろ。$t$ 検定のほうが上やん

＞＞7
正規分布なら、そのとおり。符号検定の $t$ 検定に対する漸近相対効率は $2/\pi \approx 0.64$ で、同じ検出力に約1.6倍のデータが要る
でも裾の重い分布では逆転する。外れ値が1個あっても、符号検定は1票ぶんしか動かない

＞＞8
間をとるなら、差の大きさの順位も使うウィルコクソンの符号付き順位検定がある。このデータでは両側P値約0.0093

＞＞3
中央値の信頼区間にもなる。二項の分位点から「小さいほうから $k$ 番目と大きいほうから $k$ 番目」の差で区間を作れる

プラスの数を $Bin(n,1/2)$ で数える、0は除く、正規なら効率は約0.64、外れ値には強い。これで説明できるな