【疑問】二項分布の正規近似で「±0.5」するのとしないので、どれくらい答えがずれるん【統計検定1級】

二項分布の正規近似で、連続修正の0.5を足すのか引くのか毎回迷う
そもそも、やるとやらんでどれくらい違うん

前提のおさらい。中心極限定理で、独立同分布の和を標準化したものは標準正規分布に分布収束する
$X\sim Bin(n,p)$ はベルヌーイ $n$ 個の和やから、$\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}$ は近似的に $N(0,1)$

例で比べる。$n=40,p=0.3$ なら平均12、分散8.4、標準偏差 $2.898$
$P(X\le 9)$ の正確な値は二項分布の和で約 $0.196$

＞＞3
修正なし：$\Phi ((9-12)/2.898)=\Phi (-1.035)\approx 0.150$
修正あり：$\Phi ((9.5-12)/2.898)=\Phi (-0.863)\approx 0.194$
修正ありのほうが正確な値0.196にかなり近い

＞＞1
向きは、離散の値 $k$ を幅1の棒 $[k-0.5,k+0.5]$ とみなすと迷わない

$X\le 9$ は棒9の右端9.5まで含める。$X\ge 15$ なら棒15の左端14.5から

＞＞5
「より小さい」に注意。$P(X<9)=P(X\le 8)$ やから 8.5 を使う

＞＞5
1点の確率も出せる
$P(X=12)\approx \Phi (0.5/2.898)-\Phi (-0.5/2.898)\approx 0.137$、正確な値は約 $0.137$
修正なしやと $P(X=12)$ は区間の幅が0で、近似が0になってしまう

＞＞4
でも修正するとかえって悪くなる場合もあるって聞いた。いつもやるべきなんか

＞＞8
分布関数の近似としては、たいていの場合よくなる。離散の段差のどこで評価するかを合わせてるだけやから
よく言われる「修正しすぎ」は、分割表の検定でイェーツの補正を使ったときに検定が保守的になる話のほうが多い

＞＞9
とはいえ $n$ が大きいと差はほとんどなくなる。標準偏差が大きくなって、0.5のずれが相対的に小さくなるから
大きい $n$ では、修正の有無より $p$ の偏りのほうが効く

$p$ が小さいとどうなるん

＞＞11
$n=50,p=0.04$ なら平均2、分散1.92で、右に長い分布。$P(X\ge 5)$ の正確な値は約 $0.049$
修正つきの正規近似は $1-\Phi ((4.5-2)/\sqrt{1.92})\approx 0.036$ で、3割近く小さく出る
目安の $np\ge 5$ かつ $n(1-p)\ge 5$ を満たしてない。こういうときはポアソン近似（平均2で約 $0.053$）のほうが近い

棒の端を使う、$<$ と $\le$ を区別する、$np$ と $n(1-p)$ が5以上か確かめる。この3つを答案に書けばいいんやな