【疑問】ウィルコクソンの順位和検定、帰無仮説のもとで順位和の平均と分散はどう出すん？マン・ホイットニーのUとの関係も【統計検定1級】

2群の順位和の、帰無仮説のもとでの平均と分散を導け、って問題

前提のおさらいを2つ
符号検定は分布を仮定せず、帰無仮説のもとで決まる二項分布でP値を出した
大きさ $N$ の有限母集団（母分散 ${\sigma }^2$）から $m$ 個を戻さずに引くと、合計の分散は $m{\sigma }^2\frac{N-m}{N-1}$

＞＞1
2群を合わせて $N=m+n$ 個に順位をつけ、群1の順位の和を $W$ とする
2群の分布が同じなら、群1の順位は $1,\dots ,N$ から $m$ 個を戻さずに無作為に選んだのと同じ

＞＞3
$1,\dots ,N$ の平均は $\frac{N+1}{2}$、分散は $\frac{N^2-1}{12}$。だから
$E[W]=\frac{m(N+1)}{2}$

数字で。群1：$12,15,18,20$、群2：$9,11,13,14,16$
並べると群1の順位は $3,6,8,9$ で $W=26$
$E[W]=4\times 10/2=20$、$V[W]=4\times 5\times 10/12\approx 16.67$、標準偏差約4.08

＞＞5
正確な分布は、$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{4}\right)=126$ 通りの選び方を全部数える
$W\ge 26$ になるのは12通りで、片側P値 $12/126\approx 0.095$
正規近似（連続修正あり）は $z=(25.5-20)/4.08\approx 1.35$、片側約0.089

＞＞4
マン・ホイットニーの $U$ は別の検定ちゃうの？

＞＞7
同じもの。$U=W-\frac{m(m+1)}{2}$ は、群1と群2から1個ずつとった $mn$ 組のうち、群1のほうが大きい組の数
例なら $U=26-10=16$、全部で $4\times 5=20$ 組。$U/mn=0.8$ は「群1から1つとると群2より大きい確率」の推定

＞＞8
それって結局「中央値の差」の検定やろ

＞＞9
正確には $P(X>Y)=1/2$ かどうかの検定。2群の形が同じでずれてるだけなら中央値の差の検定になるけど、ばらつきが違うと中央値が同じでも棄却されることがある

＞＞10
同順位があるときは平均順位をつけて、分散を少し小さく補正する。正確な分布も同順位込みで数え直しになる

順位を有限母集団からの非復元抽出と見る、平均と分散は $\frac{m(N+1)}{2}$ と $\frac{mn(N+1)}{12}$、$U$ は同じ検定。これで導けるな