【疑問】二項分布の検定、正規近似せずにP値を正確に出せって言われた。両側はどう計算するん【統計検定1級】

20回中15回表が出たコイン、表の確率が0.5か検定せよ、正確なP値で、って問題

前提のおさらいを2つ
P値は帰無仮説のもとで観測値以上に極端な値が出る確率。離散では $P(P\le \alpha )\le \alpha$ で保守的になる
独立なポアソン $X_1\sim Po({\lambda }_1)$、$X_2\sim Po({\lambda }_2)$ は、和 $n$ を与えると $X_1\sim Bin(n,{\lambda }_1/({\lambda }_1+{\lambda }_2))$

＞＞1
二項の確率をそのまま足す

対称やから両側は2倍で約0.0414

＞＞3
正規近似と比べると、平均10、標準偏差 $\sqrt{5}$ で
連続修正あり：$z=(14.5-10)/\sqrt{5}\approx 2.012$、上側確率約0.0221
連続修正なし：$z=5/\sqrt{5}\approx 2.236$、約0.0127。修正したほうが正確な値にずっと近い

ポアソンも同じ考え方で正確にできる。同じ時間で事故が15件と5件なら、合計20件を与えたとき、1件目の側の件数は $Bin(20,0.5)$（率が等しいとき）
だから率が等しいかの片側P値は、さっきと同じ約0.0207

＞＞3
両側が「2倍」でいけるのは対称なときだけやろ。$p_0$ が0.5でないとどうするん

＞＞6
やり方が2つあって、答えが違う。$n=20$、$p_0=0.2$、$x=8$ で
上側確率 $P(X\ge 8)\approx 0.0321$
2倍する方法：約0.0643で、5%で棄却しない
観測値の確率以下になる $x$ の確率を全部足す方法：約0.0437で、5%で棄却する

＞＞7
同じデータで結論が変わるの、おかしくない？どっちかが正しいんちゃうの

＞＞8
どっちも「極端さ」の決め方の1つで、どっちかが誤りというわけではない。だから使う方法を先に決めて、答案に書いておく
離散で非対称なときは、片側の確率も並べて書くと読む人が判断できる

＞＞9
サイズがちょうど5%にならないのも残る。$n=20$、$p_0=0.5$ の片側では、$X\ge 15$ のサイズは約0.0207で、$X\ge 14$ にすると約0.058で5%を超える

二項の確率を足す、両側は方法を決めて書く、ポアソンは和で条件づけて二項に直す。正確検定はこれで書けるな