【疑問】帰無仮説が正しいときP値は一様分布になる、ってどう示すん？離散だとどうなるん【統計検定1級】

P値が帰無仮説のもとで $U(0,1)$ に従う、って証明せよ
P値ってデータごとに1個の数やのに、分布ってどういうこと

前提のおさらいを2つ
確率積分変換：$T$ が連続で分布関数が $F$ なら $F(T)\sim U(0,1)$
サイズは帰無仮説のもとで棄却域に入る確率

＞＞1
P値はデータの関数やから確率変数。$T$ が大きいほど棄却する検定で、帰無仮説のもとでの $T$ の分布関数を $F_0$ とすると

$F_0(T)\sim U(0,1)$ やから、$1-F_0(T)$ も $U(0,1)$。よって $P(P\le \alpha )=\alpha$

＞＞3
「P値が0.05以下なら棄却」は、サイズがちょうど0.05の検定と同じことやな

対立仮説のもとでは0のほうに偏る
片側 $z$ 検定で、真の平均が $\sqrt{n}\mu /\sigma =2$ の位置にあるなら
$P(P\le 0.05)=P(Z>1.645-2)=\Phi (0.355)\approx 0.639$。これは検出力そのもの

＞＞3
離散だとどうなるん

＞＞6
一様にはならない。とれる値が飛び飛びになって、$P(P\le \alpha )\le \alpha$ になる
$Bin(10,0.5)$ で右片側なら、P値は $1/1024,11/1024,56/1024,\dots$ しかとらない
$P(P\le 0.05)=11/1024\approx 0.0107$ で、0.05よりずっと小さい

＞＞7
だから離散の検定は保守的になる。$P(P\le \alpha )\le \alpha$ が成り立つことを答案では言えばいい

一様なのが効くのは多重検定
帰無仮説が全部正しい検定を20個すると、どれか1つが0.05以下になる確率は（独立なら）$1-0.95^{20}\approx 0.642$
20個中1個くらい有意になるのは、偶然でもふつうのこと

＞＞3
一様なら、P値0.04も0.6も帰無仮説のもとでは同じくらい出る。それなら0.04を証拠と読むのはおかしくない？

＞＞10
帰無仮説のもとでは同じ密度でも、対立仮説のもとでは0.04のほうがずっと出やすい。証拠になるのはその比
ただその比は対立仮説をどう置くかで変わるから、P値だけでは「どれだけ証拠があるか」は決まらない

＞＞11
それでもP値が0に近いほど帰無仮説と合わないのは確か。読み方を「仮説が正しい確率」と取り違えなければ使える

$P=1-F_0(T)$ と書く、確率積分変換で一様、離散なら $P(P\le \alpha )\le \alpha$。証明はこれで3行やな