【疑問】平均年収と年収の中央値、なんで2つも出すん？平均だけでよくない？【統計検定2級】

「平均年収」と「年収の中央値」って、よく並べて出てくる
平均だけでええやろ。なんで2つも出すんや

＞＞1
おさらいから。平均は全部足して個数で割ったもの、中央値は小さい順に並べたときの真ん中の値
5人の年収が 300, 350, 400, 450, 2500（万円）なら

中央値は真ん中の3番目で400

＞＞2
1人のせいで、平均が中央値の倍になってるやん

＞＞3
それが平均の弱点。飛び抜けた値（外れ値）1個に引っ張られる
中央値は、2500の人が1億になっても400のまま

＞＞4
いや、中央値は情報を捨てすぎやろ。2500の人の分がまったく反映されてない

＞＞5
そこは一理ある。合計が必要な場面では平均しか使えん
5人の年収の総額は $800\times 5=4000$
中央値で $400\times 5=2000$ とやると総額の半分しかない。予算や総量の話なら平均

個数が偶数のときの中央値は？

＞＞7
真ん中の2つの平均をとる。300, 350, 400, 450 なら $(350+400)/2=375$

分布の形と、平均・中央値の関係ってあるん

＞＞9
右に裾が長い分布（大きい側に少数の値が飛び出す形）では、たいてい平均が中央値より大きい
平均5分の指数分布（待ち時間の分布）なら、中央値は

左右対称な分布なら、平均と中央値は一致する

＞＞10
「たいてい」って何。右に裾が長かったら必ず平均のほうが大きいんちゃうの

＞＞11
必ずではない。データ 1, 1, 2, 2, 3 は平均1.8、中央値2で平均のほうが小さい
でも偏りの向きを表す歪度（右に裾が長いとプラス）を計算すると約0.34でプラスになる
「右に裾が長い → 平均 > 中央値」は目安であって、定理ではない

結局、代表の値としてどっちを使えばええか決める基準はあるん

＞＞13
「ずれをどう測るか」で決まる
1つの値 $c$ で全員を代表させたとき、ずれの2乗の和 $\sum (x_i-c{)}^2$ を一番小さくするのが平均、ずれの絶対値の和 $\sum |x_i-c|$ を一番小さくするのが中央値
＞＞2のデータで、絶対値の和は $c=400$ で2300、$c=800$ で3400
2乗の和は $c=800$ で3625000、$c=400$ で4425000

＞＞14
それ、どっちが正しいかの答えにはなってないやん

＞＞15
正しいほうはない。「典型的な1人」が知りたいなら中央値、「合計や全体」を扱うなら平均
両方並べて差が大きかったら、分布が偏ってるか外れ値があるサイン。2つ並べて出すのはそのため

外れ値に強いんやったら、いつも中央値でええやん

＞＞17
正規分布に近いデータなら、平均のほうがぶれが小さい
データが多いとき、標本中央値の標準誤差は標本平均の約 $\sqrt{\pi /2}\approx 1.25$ 倍
$\sigma =10$、$n=100$ なら、平均の標準誤差は $10/\sqrt{100}=1$、中央値は約1.25。外れ値がないなら平均のほうが精度がいい

最頻値（一番多く出てくる値）はどう使い分けるん

＞＞19
とびとびの値やカテゴリで「一番よくある値」を知りたいときに使う。靴のサイズで一番売れるのは何cmか、とか
連続のデータやと、ヒストグラムの区切り方で変わるから扱いが難しい

平均は合計とつながっていて、外れ値に弱い。中央値は外れ値に強いけど合計にはつながらない。正規分布に近ければ平均のほうが精度がいい。両方見て差が大きければ偏りを疑う。これで使い分けられる