【疑問】3つの事象がどのペアも独立なら、3つまとめても独立ちゃうの？【統計検定1級】

「どのペアも独立なら3つでも独立」って書いたらバツやった
ペアで全部大丈夫なら、3つでも大丈夫な気がするんやけど

前提のおさらい。2つの事象 $A,B$ が独立とは

$P(B)>0$ なら $P(A\mid B)=P(A)$ と同じこと。$B$ が起きたと知っても $A$ の確率が変わらない

＞＞1
3つの事象が（相互に）独立というのは、次の4本の式が全部成り立つこと

ペアの3本だけだと、最後の1本が抜けてる

＞＞3
ペアだけでは足りない例って、ほんまにあるん

＞＞4
コインを2回投げる。表裏が等確率で、2回は独立
$A$：1回目が表、$B$：2回目が表、$C$：2回とも同じ面
標本空間は {表表, 表裏, 裏表, 裏裏} の4通りで、それぞれ確率1/4

＞＞5
計算すると
$P(A)=P(B)=P(C)=1/2$
$P(A\cap B)=P(\text{表表})=1/4$、$P(A\cap C)=P(\text{表表})=1/4$、$P(B\cap C)=P(\text{表表})=1/4$
ペアは全部 $1/2\times 1/2=1/4$ と一致して独立
でも $P(A\cap B\cap C)=P(\text{表表})=1/4$ で、$(1/2{)}^3=1/8$ とは違う

＞＞6
$A$ と $B$ が決まれば $C$ も決まるんやな。$P(C\mid A\cap B)=1$
1つずつなら $A$ だけ見ても $C$ の確率は1/2のままやけど、2つそろうと $C$ が分かってしまう

逆に、3つの積の式だけ成り立てばペアは要らんのちゃう？

＞＞8
それも足りない
1から8の数字を等確率で選ぶ。$A=B=\{1,2,3,4\}$、$C=\{1,5,6,7\}$ とすると
$P(A\cap B\cap C)=P(\{1\})=1/8=(1/2{)}^3$ で積の式は成り立つ
でも $P(A\cap B)=1/2\ne 1/4$ で、ペアが独立になってない

＞＞9
$n$ 個の事象なら、2個以上を選ぶ組み合わせ全部について式が要る

3個で4本、4個で11本

確率変数でも同じことが起きるん？

＞＞11
$X,Y$ を独立に $\pm 1$ を確率1/2ずつとる変数にして、$Z=XY$ とおく
たとえば $P(X=1,Z=1)=P(X=1,Y=1)=1/4=P(X=1)P(Z=1)$ で、どのペアも独立
でも $E[XYZ]=E[X^2{Y}^2]=1$ なのに、$E[X]E[Y]E[Z]=0$

＞＞12
ペアで独立なら分散の計算には困らんやろ。そこまで気にする必要ある？

＞＞13
分散の和の公式に要るのはペアの無相関だけやから、$V[X+Y+Z]=1+1+1=3$ で合ってる
困るのは3つ以上が同時に関わるとき。$XYZ=1$ は常に1で分散0やけど、3つが相互に独立なら積は $\pm 1$ で分散1になる
どの性質にどこまでの独立が要るかを区別するのが大事

答案で反例を示すときは、標本空間・各事象・確率・4本の式それぞれの値を全部書いて、どの式が崩れるかを見せたほうがよさそうやな