【疑問】工程能力指数 Cp と Cpk の違いは？不良率に換算するとどれくらいなん【統計検定1級】

規格 $34$〜$46$、工程の平均 $41$、標準偏差 $1.5$ のとき、$C_p$ と $C_{pk}$ を求めて不良率に換算せよ、って問題

前提のおさらい。$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ なら $Z=(X-\mu )/\sigma \sim N(0,1)$ で、$P(X>a)=1-\Phi ((a-\mu )/\sigma )$

＞＞1
規格の幅と工程のばらつき（$\pm 3\sigma$ で $6\sigma$）を比べる

$C_p$ は幅だけ、$C_{pk}$ は平均の片寄りまで入れた指数

数字で
$C_p=12/9\approx 1.33$、$C_{pk}=\min (5,7)/4.5\approx 1.11$
上側の不良：$1-\Phi (5/1.5)=1-\Phi (3.33)\approx 0.00043$
下側の不良：$\Phi (-7/1.5)=\Phi (-4.67)\approx 0.0000015$。合わせて約0.043%

＞＞4
中心の40に平均を戻すと、両側とも $4\sigma$ 離れて $2\Phi (-4)\approx 0.0063\%$。同じ $C_p$ でも、片寄りで不良率が約7倍違う
上側の標準化した距離は $3C_{pk}=3.33$ になってる。$C_{pk}$ から一番近い側の不良率がすぐ出る

＞＞4
$C_p$ が1.33あれば十分ってよく聞くし、不良はほぼゼロって言ってええやろ

＞＞6
2つ足りない。1つは片寄りで、$C_{pk}$ は1.11しかない
もう1つは $\sigma$ が推定値なこと。30個のデータから推定したとすると、$(n-1)s^2/{\sigma }^2\sim {\chi }_{29}^2$ から $C_p$ の95%区間は $1.33\times \sqrt{16.05/29}$ 〜 $1.33\times \sqrt{45.72/29}$ で、約 $0.99$〜$1.67$

＞＞7
30個だと、1を割ってる可能性まで残るんか。指数を1つの数字で報告するのは危ないな

＞＞3
正規分布を仮定してるけど、すそが重かったらどうなるん

＞＞9
不良率は分布のすそで決まるから、正規で換算した0.043%は外れうる。$4\sigma$ 先みたいな遠いところほど仮定の影響が大きい
ヒストグラムや正規確率プロットで形を見てから換算する

＞＞1
それと、工程が管理状態（管理図で異常がない）になってから計算すること。平均がふらついてる工程の $\sigma$ は、その時々の値で意味がない

$C_p=$ 幅$/6\sigma$、$C_{pk}=$ 近い側の距離$/3\sigma$、近い側の不良率は $1-\Phi (3C_{pk})$、$\sigma$ の推定の誤差と分布の形、管理状態を確かめる。これで計算できるな