【疑問】固定効果と変量効果って何が違うん？一元配置の変量模型で分散成分を推定したい【統計検定1級】

原料のロットを4つ無作為に選んで、各ロットから3個ずつ測った。ロット間のばらつきと測定内のばらつきを分散成分として推定せよ、って問題

前提のおさらいを2つ
一元配置では総平方和が群間 $S_A$ と群内 $S_E$ に分かれ、$E[M{S}_E]={\sigma }^2$
乱塊法では、ブロック（日や装置）を因子として入れて誤差から取り除いた

＞＞1
固定効果は「この4水準そのもの」の違いを知りたいとき。変量効果は、水準を母集団から無作為に選んで「水準の違いのばらつき」を知りたいとき

ロットは今回の4つに興味があるわけやなくて、ロットというもののばらつきが知りたいから変量

＞＞3
平均平方の期待値を出す。群の平均は ${\bar{y}}_i=\mu +a_i+{\bar{e}}_i$ で、$V[{\bar{y}}_i]={\sigma }_A^2+{\sigma }^2/n$
$M{S}_A$ は $n\times$（群の平均の標本分散）やから $E[M{S}_A]={\sigma }^2+n{\sigma }_A^2$
よって ${\hat{\sigma }}_A^2=(M{S}_A-M{S}_E)/n$

数字で。ロットの平均は $11,14,10,13$、全体の平均12
$S_A=3\times (1+4+4+1)=30$、$S_E=8$。$M{S}_A=30/3=10$、$M{S}_E=8/8=1$
${\hat{\sigma }}_A^2=(10-1)/3=3$、${\hat{\sigma }}^2=1$。全体のばらつき4のうち、ロット間が $3/4=0.75$
$F=10$、$F(3,8)$ の上側5%点4.07で、$p\approx 0.004$

＞＞5
一元配置なら、固定でも変量でも F の計算は同じやん。区別する意味あるん

＞＞6
一元配置では検定統計量は同じでも、$H_0$ が違う。固定なら「この4つの平均が等しい」、変量なら「${\sigma }_A^2=0$」
二元配置で片方が変量やと差が出る。固定の因子 A を、変量の因子 B との交互作用の平均平方で割って検定することになって、分母が誤差の平均平方から変わる

＞＞4
$M{S}_A$ が $M{S}_E$ より小さかったら、${\hat{\sigma }}_A^2$ が負になるやん

＞＞8
なる。分散が負はありえんから0とするのがふつう。ただ0で打ち切ると推定量に偏りが出る
制限つき最尤法（REML）やベイズの方法を使えば、負にならない推定が自然に出る。階層ベイズで群の平均を縮める話と同じ模型

＞＞3
乱塊法のブロックも、日や装置を無作為に選んだと考えれば変量効果やな。ブロック間の分散が分かれば、次の実験でブロックを入れる価値も見積もれる

固定は水準そのもの、変量は水準のばらつき、$E[M{S}_A]={\sigma }^2+n{\sigma }_A^2$ から ${\hat{\sigma }}_A^2=(M{S}_A-M{S}_E)/n$、負なら0、二元では分母が変わる。これで推定できるな