【疑問】階層ベイズでグループごとの平均を「縮める」ってどういうこと？よそのグループのデータで自分の推定を動かしてええの？【統計検定1級】

5つのグループの平均点を、それぞれのデータだけで推定するのと、階層モデルで推定するのとで比べよ、って問題

前提のおさらいを2つ
2乗損失のベイズ推定量は事後平均
ギブスサンプリングで、条件付き分布から交互に引けば同時の事後分布が作れる

＞＞1
モデルを2段にする
1段目：$y_j\mid {\theta }_j\sim N({\theta }_j,{\sigma }^2)$（グループ $j$ の観測平均）
2段目：${\theta }_j\sim N(\mu ,{\tau }^2)$（グループの真の平均も、ある分布から出てくる）

＞＞3
$\mu ,{\tau }^2$ を固定すると、正規–正規の共役で事後平均は

グループのばらつき ${\tau }^2$ に比べて観測の誤差 ${\sigma }^2$ が大きいほど、全体の平均 $\mu$ のほうへ強く縮める

数字で。観測平均 $18,6,14,2,10$、各 ${\sigma }^2=16$
全体の平均10、$y$ の分散 $160/4=40$。$y$ の分散は ${\tau }^2+{\sigma }^2$ やから ${\hat{\tau }}^2=40-16=24$
$B=16/40=0.4$。縮めた推定は $10+0.6(y_j-10)$ で、$14.8,7.6,12.4,5.2,10$
事後分散は $(1-B){\sigma }^2=9.6$。グループのデータだけの16より小さい

＞＞5
グループ1の推定を、ほかのグループの点数で18から14.8に下げるのは不公平やろ。グループ1のデータは18って言ってるのに

＞＞6
18は「真の平均＋誤差」。いちばん高いグループは、誤差がプラスに出た可能性も高い。平均への回帰と同じ理屈
このモデルのもとで全グループの2乗誤差の合計を比べると、縮めたほうが期待値で小さい（1グループあたり16に対して9.6）。モデルを仮定しなくても、正規で分散が既知なら、全体平均へ縮める推定量はグループが4つ以上あればどの真の値でも合計の期待値を小さくできる（ジェームズ・スタインの結果）

＞＞7
ただ、個々のグループで必ず良くなるわけじゃない。本当に飛び抜けたグループは縮めすぎになる。全体で得をする代わりに、端のグループは損をしうる

＞＞5
${\tau }^2$ をデータから推定して代入するのは、ベイズというより経験ベイズやな

＞＞9
そう。完全な階層ベイズなら $\mu$ と ${\tau }^2$ にも事前分布を置いて、ギブスサンプリングで ${\theta }_j,\mu ,{\tau }^2$ を交互に引く。${\tau }^2$ の不確かさも結果に入るから、区間が少し広くなる

＞＞10
${\hat{\tau }}^2$ が負になったら0にする。そのときは $B=1$ で全部同じ値に縮む。グループの差が誤差で説明できる、という判断

2段のモデル、$B={\sigma }^2/({\sigma }^2+{\tau }^2)$ で全体平均へ縮める、全体の誤差は減る、端のグループは損もある。これで説明できるな