【疑問】確率母関数って、確率を「係数」にしまうってどういうこと？何がうれしいん【統計検定1級】

確率母関数 $G(s)=E[s^X]$ が出てきたけど、$s$ って何の変数なん。意味がつかめん

前提のおさらい。$k$ 次のモーメントは $E[X^k]$ で、平均は1次、分散は $E[X^2]-E[X{]}^2$
確率母関数は、0以上の整数をとる離散分布で使う

＞＞1
$s$ 自体に意味はなくて、確率を並べておく入れ物。展開すると

$s^k$ の係数が $P(X=k)$ になってる。サイコロなら $G(s)=(s+s^2+\cdots +s^6)/6$

＞＞3
係数から確率を取り出すには、$k$ 回微分して $s=0$ を入れて $k!$ で割る

モーメントは $s=1$ で出る
$G(1)=1$、$G^{\prime }(1)=E[X]$、$G^{\prime \prime }(1)=E[X(X-1)]$

＞＞5
サイコロで確かめると
$G^{\prime }(1)=(1+2+\cdots +6)/6=3.5$
$G^{\prime \prime }(1)=(0+2+6+12+20+30)/6=70/6$
$V[X]=70/6+3.5-12.25=35/12\approx 2.917$

＞＞5
$G^{\prime \prime }(1)$ が $E[X^2]$ じゃなくて $E[X(X-1)]$ になるのはなんで

＞＞7
$s^k$ を2回微分すると $k(k-1)s^{k-2}$ で、$s=1$ を入れると $k(k-1)$ が残るから
階乗モーメントと呼ぶ。二項やポアソンではこっちのほうが計算が楽

うれしいのは和のとき。$X$ と $Y$ が独立なら

かけ算するだけ

＞＞9
サイコロ2個の和なら $G(s{)}^2=(s+\cdots +s^6{)}^2/36$
$s^7$ の係数は $(1,6),(2,5),\dots ,(6,1)$ の6通りで $6/36$。和が7になる確率そのもの

＞＞10
その多項式を因数分解すると面白いことが分かる
目が $(1,2,2,3,3,4)$ と $(1,3,4,5,6,8)$ のサイコロ2個でも、和の分布がふつうのサイコロ2個とまったく同じになる

＞＞11
$(s+2s^2+2s^3+s^4)(s+s^3+s^4+s^5+s^6+s^8)$ を展開すると、$(s+\cdots +s^6{)}^2$ と一致する
和7の係数も6

＞＞9
でもモーメント母関数があるなら、確率母関数は要らんやろ。同じことができるやん

＞＞13
中身は同じで、$G(e^t)=M(t)$ の関係
ただ確率母関数は確率がそのまま係数で読める。二項なら $G(s)=(1-p+ps{)}^n$、ポアソンなら $G(s)=e^{\lambda (s-1)}$ で、和の分布の確率を直接取り出せる

＞＞14
幾何分布 $P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p$（$k\ge 1$）でも $G(s)=\frac{ps}{1-(1-p)s}$ になって、微分すると $G^{\prime }(1)=1/p$
$p=0.25$ なら平均4回

離散で値が0以上の整数なら、確率母関数で和と階乗モーメントを出す。そう覚えておけばよさそう