【疑問】アイスの売上と水の事故の相関0.6、気温を「固定」すると0になるってどう計算するん【統計検定1級】

13レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

アイスの売上 $X$ と水の事故 $Y$ の相関が0.6、気温 $Z$ との相関はそれぞれ0.8と0.75
気温の影響を外した相関を出せって言われたけど、どう計算するん

2: 名無しさん

前提のおさらい。共分散は $Cov (X, Y) = E [(X - μ_{X}) (Y - μ_{Y})]$ 、相関係数はそれを標準偏差2つで割ったもの
3変数の分散共分散行列は対称で、どの係数ベクトル $a$ でも $a^{⊤} Σ a = V [a^{⊤} X] \geq 0$ （半正定値）

3: 名無しさん

＞＞1
偏相関係数の式に入れる

r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}

分子は $0.6 - 0.8 \times 0.75 = 0$ 。気温を固定すると相関は0

4: 名無しさん

＞＞3
その式はどこから来るん

5: 名無しさん

＞＞4
3つとも標準化しておいて、 $X$ と $Y$ からそれぞれ $Z$ で説明できる部分を引いた残りどうしの相関
残りは $e_{X} = X - r_{X Z} Z$ 、 $e_{Y} = Y - r_{Y Z} Z$
$Cov (e_{X}, e_{Y}) = r_{X Y} - r_{X Z} r_{Y Z} - r_{Y Z} r_{X Z} + r_{X Z} r_{Y Z} = r_{X Y} - r_{X Z} r_{Y Z}$
$V [e_{X}] = 1 - r_{X Z}^{2}$ 、 $V [e_{Y}] = 1 - r_{Y Z}^{2}$ で割ると式になる

6: 名無しさん

0にならない例も。 $r_{X Y} = 0.5, r_{X Z} = 0.6, r_{Y Z} = 0.3$ なら

r_{X Y \cdot Z} = \frac{0.5 - 0.18}{0.64 \times 0.91} = \frac{0.32}{0.763} \approx 0.419

0.5から少し下がるだけ

7: 名無しさん

＞＞6
相関行列の逆行列からも出せる。逆行列を $P = R^{- 1}$ とすると

r_{X Y \cdot Z} = - \frac{p _{X Y}}{p _{X X} p _{Y Y}}

同じ数字で計算すると $0.419$ になって一致する。変数が4つ以上でも同じ式で使える

8: 名無しさん

相関の組み合わせって、3つ好きに決めてええの？

9: 名無しさん

＞＞8
決められない。相関行列も半正定値でないとあかんから、行列式が負になったらありえない組み合わせ

det R = 1 - r_{X Y}^{2} - r_{X Z}^{2} - r_{Y Z}^{2} + 2 r_{X Y} r_{X Z} r_{Y Z}

$r_{X Y} = 0.9, r_{X Z} = 0.9, r_{Y Z} = - 0.5$ なら $1 - 0.81 - 0.81 - 0.25 - 0.81 = - 1.68$ で、実在しない

10: 名無しさん

＞＞3
偏相関が0なら、アイスと事故には因果関係がない、と言い切ってええやろ

11: 名無しさん

＞＞10
言い切れない。固定する変数の選び方を間違えると、逆に相関を作ってしまう
$X$ と $Y$ が独立で分散1、 $Z = X + Y + ε$ （ $ε$ も独立で分散1）とする
$r_{X Z} = r_{Y Z} = 1/ 3$ 、 $r_{X Y} = 0$ で、 $r_{X Y \cdot Z} = \frac{0 - 1/3}{1 - 1/3} = - 0.5$

12: 名無しさん

＞＞11
両方から影響を受ける変数を固定すると、無関係やった2つに負の相関が出るんやな
偏相関は計算の道具で、何を固定すべきかは変数どうしの関係を考えて決めるしかない

13: 名無しさん

共分散は線形やから、単位を変えても相関と偏相関は変わらないのも確認しとく
$Cov (2 X + 1, 3 Y) = 6 Cov (X, Y)$ で、標準偏差も2倍と3倍になるから相関は同じ

管理人のひとこと

偏相関係数 $r_{X Y \cdot Z} = (r_{X Y} - r_{X Z} r_{Y Z}) / (1 - r_{X Z}^{2}) (1 - r_{Y Z}^{2})$ 。 $Z$ で説明できる部分を引いた残りどうしの相関として導ける。
例： $0.6, 0.8, 0.75$ なら $0$ 、 $0.5, 0.6, 0.3$ なら約 $0.419$ 。逆行列 $P = R^{- 1}$ から $- p_{X Y} / p_{X X} p_{Y Y}$ でも同じ。
相関行列は半正定値。 $det R < 0$ になる組み合わせ（例 $0.9, 0.9, - 0.5$ で $- 1.68$ ）は実在しない。
両方の結果となる変数を固定すると相関が生まれる（独立な $X, Y$ と $Z = X + Y + ε$ で $- 0.5$ ）。何を固定するかは変数の関係から決める。

【疑問】アイスの売上と水の事故の相関0.6、気温を「固定」すると0になるってどう計算するん【統計検定1級】

管理人のひとこと

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