【疑問】モーメント母関数が一致したら分布も同じ、ってそれだけで和の分布が分かるん？【統計検定1級】

「独立な正規分布の和は正規分布」の証明が、モーメント母関数をかけ算して終わってた
形が同じなら分布も同じ、ってそんな雑でええの？

前提のおさらい。確率母関数は $G(s)=E[s^X]$ で、独立な和では $G_{X+Y}=G_X{G}_Y$
モーメント母関数は $M(t)=E[e^{tX}]=G(e^t)$ で、整数値に限らずどんな分布にも同じ考え方が使える

＞＞1
雑ではなくて、一意性の定理がある
$X$ と $Y$ のモーメント母関数が0を含むある開区間で存在して一致すれば、$X$ と $Y$ は同じ分布
だから「形を見て名前を当てる」が証明になる

独立な和でかけ算になるのは

2つ目の等号で独立を使ってる

＞＞4
正規分布なら $M(t)=\exp (\mu t+{\sigma }^2{t}^2/2)$ やから
$X\sim N(1,4)$、$Y\sim N(2,5)$ が独立なら $M_X{M}_Y=\exp (3t+9t^2/2)$
これは $N(3,9)$ のモーメント母関数。たとえば $P(X+Y>6)=P(Z>1)\approx 0.159$

＞＞4
ポアソンも同じ。$M(t)=\exp (\lambda (e^t-1))$ で、平均1.5と2.5の和は平均4のポアソン
$P(X+Y=0)=e^{-4}\approx 0.0183$

指数分布の和がガンマ分布になるのも同じ？

＞＞7
率 $\lambda$ が同じなら。指数分布は $M(t)=\lambda /(\lambda -t)$（$t<\lambda$）で、$n$ 個かけると $(\lambda /(\lambda -t){)}^n$
これは形状 $n$、率 $\lambda$ のガンマ分布のモーメント母関数

＞＞8
率が違ったらどうなるん。$\lambda =1$ と $\lambda =2$ とか

＞＞9
$M(t)=\frac{1}{1-t}\cdot \frac{2}{2-t}$ は、どのガンマ分布の形にもならない。名前のある分布にならないだけで、和の分布はちゃんとある
畳み込みで出すと密度は $2(e^{-x}-e^{-2x})$。平均は $1+0.5=1.5$ で、積分しても $1.5$ になる

＞＞3
モーメントが全部一致すれば同じ分布、とも言える？

＞＞11
言えない。対数正規分布はモーメントが全部有限やのに、同じモーメントを全部持つ別の分布がある
対数正規はモーメント母関数が $t>0$ で無限大になって、0のまわりの開区間で存在しないから、一意性の定理が使えない

＞＞12
それならモーメント母関数を使う証明は、存在を仮定しないと答案にならんやろ。コーシー分布みたいにそもそも存在しない分布もある

＞＞13
だから使う前に「モーメント母関数が0の近くで存在する」と1行書く。正規・ポアソン・ガンマ・二項なら存在は確かめられる
どんな分布でも使いたいなら、いつも存在する特性関数 $E[e^{itX}]$ に置き換える

和の分布を聞かれたら、モーメント母関数をかけて、知ってる分布の形かどうか見る。形が合わないときは畳み込みに戻る、の順番でよさそうやな