【疑問】モーメント母関数って、平均と分散を出す以外に何がうれしいん？【統計検定1級】

21レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

モーメント母関数を微分したら平均と分散が出るのは分かる
でもそれなら普通に期待値を計算したらよくない？

2: 名無しさん

定義のおさらい

M_{X} (t) = E [e^{tX}]

0を含む区間の $t$ で有限なら、 $t = 0$ で $k$ 回微分すると $k$ 次のモーメントになる

M_{X}^{(k)} (0) = E [X^{k}]

$e^{tX}$ をテイラー展開して、項ごとに期待値をとると見える

3: 名無しさん

ポアソン分布 $Po (λ)$ でやってみると

M (t) = k = 0 \sum \infty e^{t k} \frac{λ ^{k} e ^{- λ}}{k !} = e^{- λ} k = 0 \sum \infty \frac{( λ e ^{t} ) ^{k}}{k !} = exp (λ (e^{t} - 1))

4: 名無しさん

＞＞3
微分すると

M^{'} (t) = λ e^{t} M (t), M^{''} (t) = (λ e^{t} + λ^{2} e^{2 t}) M (t)

$t = 0$ で $E [X] = λ$ 、 $E [X^{2}] = λ + λ^{2}$ やから、分散は $λ$

5: 名無しさん

＞＞4
それ直接やっても大差ないやん
$E [X (X - 1)]$ を計算すれば一発やし

6: 名無しさん

＞＞5
平均と分散だけならそう。うれしいのは独立な和のほう
$X$ と $Y$ が独立なら

M_{X + Y} (t) = E [e^{tX} e^{t Y}] = M_{X} (t) M_{Y} (t)

面倒な畳み込みの計算が、掛け算で済む

7: 名無しさん

ポアソン同士なら

exp (λ_{1} (e^{t} - 1)) exp (λ_{2} (e^{t} - 1)) = exp ((λ_{1} + λ_{2}) (e^{t} - 1))

これは $Po (λ_{1} + λ_{2})$ のモーメント母関数

8: 名無しさん

＞＞7
でも母関数の形が同じってだけで、分布も同じって言ってええの？

9: 名無しさん

＞＞8
ええ。0を含む開区間でモーメント母関数が存在して一致すれば、分布は一致する（一意性）
これがあるから「形を見て分布を当てる」ができる

10: 名無しさん

正規分布はどうなるん

11: 名無しさん

＞＞10
標準正規分布に従う $Z$ なら、指数の部分を平方完成して

t z - \frac{z ^{2}}{2} = - \frac{( z - t ) ^{2}}{2} + \frac{t ^{2}}{2}

やから

M_{Z} (t) = e^{t^{2} /2} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{2 π} e^{- (z - t)^{2} /2} d z = e^{t^{2} /2}

$X = μ + σ Z$ は $M_{a + b Z} (t) = e^{a t} M_{Z} (b t)$ を使って

M_{X} (t) = exp (μ t + \frac{σ ^{2} t ^{2}}{2})

12: 名無しさん

＞＞11
独立な正規分布の和が正規分布になるのも、これを掛けるだけやな

exp ((μ_{1} + μ_{2}) t + \frac{( σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} ) t ^{2}}{2})

13: 名無しさん

指数分布の和がガンマ分布になるのも同じ話？

14: 名無しさん

＞＞13
同じ。平均 $1/ λ$ の指数分布なら、 $t < λ$ で

M (t) = \frac{λ}{λ - t}

独立に $n$ 個足すと

(\frac{λ}{λ - t})^{n}

これは形状 $n$ 、比率 $λ$ のガンマ分布のモーメント母関数
$t < λ$ でしか存在せんのにも注意

15: 名無しさん

対数をとったやつもよく出てくるよな

16: 名無しさん

＞＞15
キュムラント母関数

K (t) = lo g M (t)

$K^{'} (0)$ が平均、 $K^{''} (0)$ が分散
ポアソンなら $K (t) = λ (e^{t} - 1)$ で、何回微分しても $t = 0$ で $λ$ 。平均も分散も $λ$ なのが一瞬で見える

17: 名無しさん

＞＞16
そこまで便利なら、全部の分布でこれ使えばええやん

18: 名無しさん

＞＞17
使えん分布がある
コーシー分布は $t \neq = 0$ で $E [e^{tX}]$ が発散する
対数正規分布は全次数のモーメントが有限やのに、 $t > 0$ でモーメント母関数が存在せん

19: 名無しさん

＞＞18
モーメントが全部あっても母関数がないことあるんか
じゃあそういうときはどうするん

20: 名無しさん

＞＞19
特性関数を使う

φ_{X} (t) = E [e^{i tX}]

$∣ e^{i tX} ∣ = 1$ やから、どんな分布でも必ず存在する。一意性も、独立な和で掛け算になるのもそのまま
中心極限定理のきちんとした証明も、特性関数でやることが多い

21: 名無しさん

＞＞20
モーメント母関数は「存在するときに便利な道具」、特性関数は「いつでも使える道具」って整理しとくわ

管理人のひとこと

モーメント母関数 $M_{X} (t) = E [e^{tX}]$ は、 $t = 0$ での $k$ 階微分が $E [X^{k}]$ になる。
真価は独立な和で $M_{X + Y} = M_{X} M_{Y}$ になることと一意性。ポアソン・正規の再生性や、指数分布の和がガンマ分布になることが掛け算で分かる。
ポアソンは $exp (λ (e^{t} - 1))$ 、正規は $exp (μ t + σ^{2} t^{2} /2)$ 。キュムラント母関数 $lo g M$ を微分すると平均・分散が直接出る。
コーシー分布や対数正規分布ではモーメント母関数が存在しない（対数正規は $t > 0$ で）。そのときは必ず存在する特性関数 $E [e^{i tX}]$ を使う。

【疑問】モーメント母関数って、平均と分散を出す以外に何がうれしいん？【統計検定1級】

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