【疑問】原点モーメントから中心モーメントに直す式、毎回展開してたら時間が足りん【統計検定1級】

指数分布の歪度と尖度を出せ、って問題で、$E[(X-\mu {)}^3]$ を直接積分してたら時間切れになった

前提のおさらい。$k$ 次の原点モーメントは ${\mu }_k^{\prime }=E[X^k]$、中心モーメントは ${\mu }_k=E[(X-\mu {)}^k]$
連続なら密度をかけて積分、離散なら確率をかけて足す。分布関数から密度や確率関数を出してから使う

＞＞1
直接積分せんでも、原点モーメントを出してから二項展開で直せばいい
$(X-\mu {)}^3=X^3-3\mu X^2+3{\mu }^{2}X-{\mu }^3$ の期待値をとって、$E[X]=\mu$ を使うと

4次も同じで ${\mu }_4={\mu }_4^{\prime }-4\mu {\mu }_3^{\prime }+6{\mu }^2{\mu }_2^{\prime }-3{\mu }^4$

＞＞3
指数分布でやってみる。平均1（$\lambda =1$）ならガンマ関数で
${\mu }_k^{\prime }={\int }_0^{\infty }{x}^k{e}^{-x}dx=\Gamma (k+1)=k!$ やから、${\mu }_2^{\prime }=2,{\mu }_3^{\prime }=6,{\mu }_4^{\prime }=24$
${\mu }_2=2-1=1$、${\mu }_3=6-3\times 2+2=2$、${\mu }_4=24-24+12-3=9$

歪度と尖度の定義は

正規分布では ${\beta }_2=3$。${\beta }_2-3$ を尖度と呼ぶ本もあるから、どっちの定義か書いておく

＞＞4
$\sigma =1$ やから歪度2、尖度9（3を引く流儀なら6）

＞＞6
$\lambda =1$ の場合しか出してないやん。平均が違う指数分布はまた計算し直し？

＞＞7
要らない。$Y=aX+b$（$a>0$）なら中心モーメントは ${\mu }_k(Y)=a^k{\mu }_k(X)$ で、分母の ${\sigma }^k$ も $a^k$ 倍
だから歪度も尖度も変わらない。平均10の指数分布でも歪度2、尖度9
$a<0$ のときは歪度だけ符号が反転する

離散でも確かめる。成功確率 $p=0.2$ のベルヌーイなら、$X^k=X$ やから原点モーメントは全部 $0.2$

＞＞9
${\mu }_2=0.2-0.04=0.16$、${\mu }_3=0.2-3(0.2)(0.2)+2(0.008)=0.096$
${\gamma }_1=0.096/0.4^3=1.5$
${\mu }_4=0.2-0.16+0.048-0.0048=0.0832$ で、${\beta }_2=0.0832/0.0256=3.25$

＞＞10
公式 ${\gamma }_1=(1-2p)/\sqrt{p(1-p)}=0.6/0.4=1.5$ と合ってる
尖度の公式 $3+(1-6p(1-p))/(p(1-p))=3+0.04/0.16=3.25$ とも一致

＞＞5
尖度が大きいって、山がとがってるって意味でええんか

＞＞12
とがり方より裾の重さで決まると考えたほうがいい
4乗するから、中心から離れた値の寄与が大きい。$|X-\mu |$ が $2\sigma$ の点は $16$、$0.5\sigma$ の点は $0.0625$ の重みになる

＞＞13
でも教科書の図では、尖度が大きい分布は山も高く描いてあるやん。両方の見方があるんちゃう

＞＞14
山が高い分布は裾も重いことが多いから、図ではそう見える。ただ山の形を変えずに裾だけ重くしても尖度は上がるから、決め手は裾のほう

モーメント母関数が手に入るなら、微分して原点モーメントを出す手もある。どっちにしても「原点を出して直す」が速いんやな