【疑問】当たり確率1/4のくじ、4回引けばほぼ当たるんちゃうの？【統計検定2級】

21レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

当たり確率が $1/4$ のくじなら、4回引けばだいたい当たるやろ

2: 名無しさん

＞＞1
それを計算するのが幾何分布
「初めて当たるまでに何回引くか」の分布
1回ごとの当たり確率を $p$ として、ちょうど $k$ 回目で初めて当たる確率は

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p

$k - 1$ 回連続で外れて、 $k$ 回目で当たる確率、ってこと

3: 名無しさん

＞＞2
数字で頼む

4: 名無しさん

＞＞3
$p = 0.25$ でちょうど3回目に初めて当たる確率は

0.7 5^{2} \times 0.25 \approx 0.141

5: 名無しさん

＞＞4
で、4回以内に当たる確率は？

6: 名無しさん

＞＞5
4回連続で外れる確率を1から引く

1 - 0.7 5^{4} = 1 - 0.316 \approx 0.684

4回引いても、3割くらいは1回も当たらん

7: 名無しさん

＞＞6
平均では何回で当たるん

8: 名無しさん

＞＞7
平均は

\frac{1}{p} = \frac{1}{0.25} = 4

平均は4回やけど、4回以内に当たるのは68%だけ。長く外れ続ける人が平均を押し上げてる

9: 名無しさん

ばらつきは？

10: 名無しさん

＞＞9
分散は

\frac{1 - p}{p ^{2}} = \frac{0.75}{0.0625} = 12

標準偏差は約3.5回。平均4回に対してかなり大きい

11: 名無しさん

＞＞10
教科書によって平均が $(1 - p) / p$ になってたんやけど

12: 名無しさん

＞＞11
数え方の違い。「当たるまでの外れの回数」で数える流儀やと、当たった1回を数えんから

\frac{1 - p}{p} = \frac{0.75}{0.25} = 3

問題文が「何回目で当たるか」か「何回外れるか」か、最初に確認する

13: 名無しさん

もう2回外れたら、次は当たりやすくなってるやろ

14: 名無しさん

＞＞13
ならん。2回外れたあと、さらに4回以上外れ続ける確率は

\frac{P ( X > 6 )}{P ( X > 2 )} = \frac{0.7 5 ^{6}}{0.7 5 ^{2}} = 0.7 5^{4} \approx 0.316

＞＞6の、最初から4回連続で外れる確率と同じ
くじが毎回独立なら、過去の外れは次に影響せん。これが無記憶性

15: 名無しさん

＞＞14
それ、指数分布で出てくるやつと同じ性質ちゃうん

16: 名無しさん

＞＞15
同じ。幾何分布は指数分布のとびとび版
指数分布は「連続した時間で、次が起きるまで」、幾何分布は「1回、2回と数える試行で、初めて起きるまで」
離散の分布で無記憶性を持つのは幾何分布だけ

17: 名無しさん

＞＞16
つながりを数字で見せてくれ

18: 名無しさん

＞＞17
1秒ごとに確率0.001で起きる出来事を考える。2500秒たっても起きてない確率は幾何分布で

0.99 9^{2500} \approx 0.0820

平均1000秒の指数分布で2500秒以上待つ確率は

e^{- 2500/1000} = e^{- 2.5} \approx 0.0821

1回あたりの確率が小さくて回数が多いと、幾何分布は指数分布でよく近似できる

19: 名無しさん

＞＞18
いや、ガチャの天井みたいに途中で確率が変わるやつには使えんやろ

20: 名無しさん

＞＞19
使えん。毎回同じ確率で独立、が前提。前提が崩れたら無記憶性も崩れる

21: 名無しさん

平均 $1/ p$ 、 $k$ 回連続外れは $(1 - p)^{k}$ 、数え方の流儀、無記憶性。これやな

管理人のひとこと

幾何分布は「初めて成功するまでの回数」の分布。 $k$ 回目で初めて成功する確率は $(1 - p)^{k - 1} p$ （ $p = 0.25$ 、3回目なら約0.141）。
平均は $1/ p$ 、分散は $(1 - p) / p^{2}$ （ $p = 0.25$ なら平均4回、分散12）。平均の4回以内に当たるのは約68%だけ。
「外れの回数」で数える流儀では平均 $(1 - p) / p$ （例では3）。問題文の数え方を最初に確認する。
無記憶性を持つ離散分布は幾何分布だけで、指数分布のとびとび版。毎回同じ確率で独立という前提が必要。

【疑問】当たり確率1/4のくじ、4回引けばほぼ当たるんちゃうの？【統計検定2級】

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