【疑問】5人から2人選ぶのが10通りで、並べるのが20通り。なんで半分になるん？【統計検定2級】

21レスカテゴリ：統計・確率

1: 名無しさん

5人から代表を2人選ぶのは10通り
でも委員長と副委員長を1人ずつ選ぶのは20通りらしい。なんで違うん

2: 名無しさん

＞＞1
並べ方（順列）は順番を区別する。1人目に5通り、2人目に残りの4通り

_{5} P_{2} = 5 \times 4 = 20

委員長Aと副委員長Bと、委員長Bと副委員長Aは別のもの

3: 名無しさん

＞＞2
代表2人やと、その2つは同じ組やな

4: 名無しさん

＞＞3
そう。同じ組が、並べ方の数（ $2! = 2$ 通り）ずつ重なって数えられてるから、それで割る

_{5} C_{2} = \frac{_{5} P _{2}}{2 !} = \frac{20}{2} = 10

5: 名無しさん

一般の形は？

6: 名無しさん

＞＞5
$n$ 個から $r$ 個選ぶ組合せは

_{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!}

10人から3人なら $\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$

7: 名無しさん

＞＞6
$n!$ をそのまま計算したら、数がでかすぎるやろ

8: 名無しさん

＞＞7
分子は上から $r$ 個だけ掛ければいい。約分すると残るのはそこだけ
$10! = 3, 628, 800$ を計算しなくても、 $10 \times 9 \times 8 = 720$ を $3! = 6$ で割れば120

9: 名無しさん

10人から7人選ぶのも、同じくらい面倒？

10: 名無しさん

＞＞9
選ぶ7人を決めるのは、選ばない3人を決めるのと同じ

_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r},_{10} C_{7} =_{10} C_{3} = 120

11: 名無しさん

確率の問題で、これがどう出てくるん

12: 名無しさん

＞＞11
いちばんよく見るのは二項分布。コインを5回投げて、表がちょうど3回になる確率
表が出る回を5回の中から3つ選ぶ選び方が $_{5} C_{3} = 10$ 通りで、どれも確率 $(1/2)^{5}$

P (X = 3) =_{5} C_{3} (\frac{1}{2})^{5} = \frac{10}{32} \approx 0.31

13: 名無しさん

＞＞12
「表表表裏裏」と「表裏表裏表」を別々に数えてるやん。それって順番を区別してるんちゃうの？

14: 名無しさん

＞＞13
区別してるのは「何回目が表か」で、それは5つの回から表になる3つの回を選ぶ組合せ。同じ回の選び方を2回数えることはない
表3枚と裏2枚の並べ方として数えても $\frac{5 !}{3 ! 2 !} = 10$ で、同じ数になる

15: 名無しさん

宝くじの当たる確率もこれ？

16: 名無しさん

＞＞15
43個の数から6個を選ぶくじなら、選び方は

_{43} C_{6} = 6, 096, 454

1口で6個全部を当てる確率は、約610万分の1

17: 名無しさん

同じものを何回も選べるときは？

18: 名無しさん

＞＞17
重複組合せで、また別の数え方になる
3種類のジュースから、同じものを選んでもいいとして2本選ぶなら、 $_{3 + 2 - 1} C_{2} =_{4} C_{2} = 6$ 通り（AA、BB、CC、AB、AC、BC）

19: 名無しさん

$_{n} C_{r}$ の表を作ると三角形になるって聞いた

20: 名無しさん

＞＞19
パスカルの三角形。となり合う2つを足すと、下の段の数になる

_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r}

特定の1人を「選ぶ場合」と「選ばない場合」に分けて数えた式。 $_{5} C_{2} =_{4} C_{1} +_{4} C_{2} = 4 + 6 = 10$

21: 名無しさん

＞＞20
迷ったら、まず「順番を区別するか」を決めるんやな

管理人のひとこと

順列は順番を区別し、組合せは区別しない。 $_{5} P_{2} = 20$ を同じ組の重なり $2!$ で割って $_{5} C_{2} = 10$ 。一般に $_{n} C_{r} = n! / {r! (n - r)!}$ 。
計算は分子を上から $r$ 個だけ掛けて $r!$ で割る（ $_{10} C_{3} = 120$ ）。選ぶのと選ばないのは同じなので $_{n} C_{r} =_{n} C_{n - r}$ 。
二項分布の $_{n} C_{x}$ は「何回目が成功か」の選び方。5回中表3回は $10/32 \approx 0.31$ 。43個から6個は約610万通り。
重複を許すなら $_{n + r - 1} C_{r}$ 。パスカルの三角形 $_{n} C_{r} =_{n - 1} C_{r - 1} +_{n - 1} C_{r}$ は、特定の1人を選ぶか選ばないかで分けた式。

【疑問】5人から2人選ぶのが10通りで、並べるのが20通り。なんで半分になるん？【統計検定2級】

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