【疑問】二項分布とポアソン分布、どっちを使えばええかいつも迷う【統計検定準1級】

不良品の数とか問い合わせの件数とか
二項分布で計算するのかポアソン分布で計算するのか、毎回迷う

＞＞1
まず二項分布
「成功か失敗か」の試行を $n$ 回、成功確率 $p$ でやったときの、成功回数の分布

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ は $n$ 個から $k$ 個選ぶ組み合わせの数

＞＞2
数字で

＞＞3
不良率1%の部品を200個調べて、不良が0個の確率は

平均は $np=200\times 0.01=2$、分散は $np(1-p)=2\times 0.99=1.98$

ポアソン分布は？

＞＞5
「一定の時間や範囲の中で、まれな出来事が何回起きるか」の分布
平均回数を $\lambda$（ラムダ）として

平均も分散も $\lambda$

＞＞6
さっきの不良品を $\lambda =2$ のポアソン分布で計算すると

二項分布の0.134とほぼ同じ
$n$ が大きくて $p$ が小さいとき、二項分布は $\lambda =np$ のポアソン分布で近似できる

＞＞7
0個のところだけ、たまたま近いんちゃう？

＞＞8
2個以下の確率で比べても、二項分布もポアソン分布も約0.677
差は0.00001もない

じゃあ二項分布で計算できるんやから、わざわざポアソンにせんでええやん

＞＞10
件数を数える場面では、$n$ も $p$ も分からんことが多い
「1時間に平均3件の問い合わせ」みたいに、分かってるのは平均回数だけ。こういうときはポアソン分布がそのまま使える

＞＞11
1時間に1件も来ない確率は？

＞＞12
$\lambda =3$ で

5%くらいの確率で、1時間まったく問い合わせが来ない

2時間やったら？

＞＞14
問い合わせが互いに無関係に来るなら、時間が2倍で平均も2倍の $\lambda =6$

独立なポアソン分布の件数は、足してもポアソン分布になる（再生性）

次の問い合わせまでの待ち時間も分かるん？

＞＞16
1時間に平均3件なら、待ち時間は平均 $1/3$ 時間（20分）の指数分布（待ち時間を表す分布）に従う
30分以上待つ確率は、30分の間に1件も来ない確率と同じやから、30分での平均件数 $3\times 0.5=1.5$ を使って

＞＞17
件数がポアソン分布なら、待ち時間は指数分布、ってセットか

＞＞18
実際のデータに当てはめるときは、平均と分散を比べるとええ
ポアソン分布なら平均と分散はほぼ同じになるはず。分散が平均よりかなり大きいなら、ポアソン分布は合ってない（過分散）

＞＞19
いや、そこまでやらんでも、件数データならとりあえずポアソンでええやろ

＞＞20
とりあえず当てはめるのはええけど、曜日や時間帯で平均が変わるデータやと分散が大きくなって、件数が極端に多い日や少ない日の確率を小さく見積もりすぎる
平均と分散を比べるのは計算1行で済むから、やっといて損はない