【疑問】二項分布で n を大きく p を小さくするとポアソン分布になる、ってどう導くん【統計検定1級】

「$np=\lambda$ を一定にして $n\to \infty$ とすると二項分布はポアソン分布に近づく」を示せ、って問題
結果は知ってるけど、どこで何を使うのかが分からん

前提のおさらい。$n\to \infty$ で

$x=-\lambda$ を入れると $(1-\lambda /n{)}^n\to e^{-\lambda }$。使うのはこれだけ

＞＞1
$p=\lambda /n$ を入れて、二項確率を4つの部分に分ける

＞＞3
$k$ は固定やから、1つ目は $1\cdot (1-1/n)\cdots (1-(k-1)/n)\to 1$
3つ目は $e^{-\lambda }$、4つ目は $k$ 乗で固定やから $1$

＞＞4
1つ目の部分、$k$ 個のかけ算の極限をそれぞれとってええのは $k$ が固定やからやな
$k$ も $n$ と一緒に増えたら、この議論は使えない

数字で近さを見る。$n=1000,p=0.002$（$\lambda =2$）なら
$P(X=0)$：二項 $0.998^{1000}\approx 0.13506$、ポアソン $e^{-2}\approx 0.13534$
$P(X=3)$：二項 $\approx 0.18063$、ポアソン $\approx 0.18045$

＞＞6
同じ $\lambda =2$ でも $n=10,p=0.2$ やと、$P(X=0)$ は二項 $0.8^{10}\approx 0.107$ でポアソンの $0.135$ とかなりずれる

＞＞7
どのくらい $p$ が小さければええん。目安みたいなものはある？

＞＞8
ずれの大きさを抑える不等式がある（ル・カムの不等式）

$n=1000,p=0.002$ なら上限は $0.008$（実際の合計は約 $0.0009$）、$n=10,p=0.2$ なら上限 $0.8$（実際は約 $0.104$）
$p$ の2乗で効くから、$p$ が小さいことがいちばん大事

＞＞9
それ、$p$ が全部同じじゃなくても使えるやつやろ。少数法則の本体はそっちやと思う

＞＞10
そう。独立なベルヌーイの $p_i$ がばらばらでも、$\lambda =\sum p_i$ のポアソンで近似できて、右辺が $2\sum p_i^2$ になる
本の誤字のように、1字ずつ間違える確率は違ってもどれも小さければ、合計の誤字数はポアソン分布に近い

＞＞10
でも出題は $np$ 一定の形で聞いてくるから、答案はまず同じ $p$ で書けば十分やろ
ばらばらの場合は、知ってると説明が厚くなる程度の話

分散も比べておく。二項は $np(1-p)=2\times 0.998=1.996$、ポアソンは $\lambda =2$
$1-p$ が1に近いときだけ、平均と分散が等しいポアソンの性質に近づく

$p=\lambda /n$ を入れる、4つに分ける、$k$ 固定で極限、$(1-\lambda /n{)}^n\to e^{-\lambda }$。この順で書けばいいんやな