【疑問】ポアソン過程って、ポアソン分布と指数分布をまとめて呼んでるだけちゃうの？【統計検定準1級】

ポアソン過程って、件数はポアソン分布、間隔は指数分布、ってのをまとめて呼んでるだけやろ
別の名前をつける意味あるんか

＞＞1
おさらいすると、ポアソン過程は「時間の流れの中で、出来事がランダムに起きていく様子」そのもののモデル
条件は、重ならない時間帯の件数どうしが独立で、長さ $t$ の時間の件数が平均 $\lambda t$ のポアソン分布に従うこと
ポアソン分布や指数分布は、その様子を「件数」や「間隔」で切り取った結果

＞＞2
切り取り方の違いだけなら、やっぱり新しいことはないやん

＞＞3
過程として見ると、合わせたり分けたりができる。そこが分布だけでは出てこない部分
窓口Aに1時間あたり平均3件、窓口Bに平均2件、互いに独立なポアソン過程で来るとする。両方合わせた流れは、平均5件のポアソン過程になる（重ね合わせ）

＞＞4
合わせた流れで、30分間どっちにも1件も来ない確率は？

＞＞5
30分の平均件数は $5\times 0.5=2.5$ やから

分けるほうは？

＞＞7
1時間に平均3件の問い合わせのうち、1件ごとに独立に確率0.2で「苦情」やとする
苦情だけを取り出した流れは、平均 $3\times 0.2=0.6$ 件のポアソン過程になる（間引き）
8時間なら平均4.8件で、1件も苦情が来ない確率は $e^{-4.8}\approx 0.008$

＞＞8
それは直感どおりやな

＞＞9
直感に反するのはここから。苦情の件数と、苦情以外の件数は独立になる
全体の件数を決めてから分けると思うと、苦情が多い日は苦情以外が少なくなりそうやけど、全体の件数もランダムやから打ち消しあう
8時間で何回も試すシミュレーションをしても、苦情の件数と苦情以外の件数の相関はほぼ0

＞＞10
全体の件数が分かってたら、さすがに独立じゃなくなるやろ

＞＞11
そう。全体が $n$ 件と分かったら、苦情の件数は $n$ 回・確率0.2の二項分布になって、苦情以外は $n$ から引いた数に決まる
独立なのは、全体の件数を知らないときの話

1時間にちょうど1件来たと分かってるとき、それが最初の15分に来た確率は？

＞＞13
件数を知ったもとでは、起きた時刻は一様分布になる。だから $15/60=0.25$
「ポアソン過程やから前のほうに来やすい」みたいなことはない

＞＞14
2件以上でも同じなん？

＞＞15
1時間に3件と分かっているなら、3件の時刻は、0〜1時間の一様分布から独立に3個とって小さい順に並べたものと同じ分布
3件とも前半の30分に来た確率は $(1/2{)}^3=0.125$

でも現実の問い合わせって、朝は多くて夕方は少ないとかあるやろ。$\lambda$ が一定なんて無理やん

＞＞17
そういうときは $\lambda$ を時刻によって変える。件数は、その時間帯の $\lambda$ を足し合わせた（積分した）平均のポアソン分布になる
午前2時間が1時間あたり5件、午後4時間が1件なら、1日の平均は $5\times 2+1\times 4=14$ 件

＞＞18
それならもう何でもポアソン過程で表せるやん

＞＞19
何でもは無理。「重ならない時間帯の件数が独立」が崩れるものはあかん
1件の問い合わせが次の問い合わせを呼ぶ（同じ不具合で問い合わせが続く）ような場合は、件数がかたまって起きて、ポアソン分布より分散が大きくなる

ポアソン過程は件数と間隔をまとめた「流れ」のモデル。独立な流れは足せる、確率で分けた流れは互いに独立、件数を知ると時刻は一様。独立が崩れたら使えん。名前を分ける意味あったわ